Probabilité Conditionnelle

(5 points) Commun à tous les candidats Une urne contient 10 boules blanches et n boules rouges, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'ume . À chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de

[pic] PROBABILITES Fascicule d’exercices Responsable : Mr LOMBARDOT Eric Maître de conférences Niveau : L1 UFR : 06 Gestion Année universitaire : 2010/11 1er semestre Planning des séances de TD Séance 1 : Dénombrement Semaine du 11 au 15 octobre 2010 Séance 2 : Probabilités simples Semaine du 18 au 22 octobre 2010 Séance 3 : Probabilités conditionnelles Semaine du 25 au 29 octobre 2010 Séance 4 : Variables

Probabilit´s et statistique e Benjamin JOURDAIN 6 octobre 2009 2 i ii ` A Anne Pr´face e Ce livre est issu du polycopi´ du cours de probabilit´s et statistique de premi`re ann´e e e e e ´ de l’Ecole des Ponts ParisTech dont je suis responsable depuis 2002. Du fait de la nature inconnue ou chaotique de leur ´volution, de nombreux ph´nom`nes (m´t´orologie, cours e e e ee de bourse, volume de vente d’une pi`ce d´tach´e automobile,...) font naturellement l’objet e e e d’une mod´lisation

utilisant la formule d’Euler, on obtient (E) En développant le produit, on trouve : Question 12 (Seulement pour les candidats de l'option génie électrique.) (A) . (B) On a (C) Avec la formule d’Euler on a : (D) Pour n impair, (E) Pour et pair, Probabilité – Statistiques Concours ensea 1999 On dispose de trois urnes appelées U, V et W . U comprend quatre boules marquées v et une marquée w . L'urne V comprend neuf boules blanches, et une noire, l'urne W comprend quatre boules blanches, trois noires

l’invitation un jour de pluie, il la refusera avec une probabilité de 0,6. S’il la reçoit un jour où il ne pleut pas, il l’acceptera avec une probabilité de 0,9. (b) Alice acceptera l’invitation avec une probabilité de 0,8 pour un jour du week-end, et avec une probabilité de 0,4 pour un jour de semaine. (c) Bill est un homme très occupé, et refusera une invitation tardive avec une probabilité de 0,7. Il acceptera une invitation arrivée à temps avec une probabilité de 0,95. (d) Les meilleurs amis de Marie sont

Terminale S Probabilités 1. Rappels et exercices de base 1. 1. QCM 1 (P. Engel) 1. 2. QCM 2, Antilles 2005 1. 3. QCM, Liban 2009, 3 points 1. 4. QCM, C. étrangers 2007 1. 5. QCM, France 2007 1. 6. QCM, N. Calédonie 2007 1. 7. QCM divers, Antilles 2007 1. 8. QCM probas diverses, La Réunion 2004 1. 9. ROC+QCM, N. Caledonie 2005 1. 10. Exercice de base 1 1. 11. Exercice de base 2 1. 12. Exercice de base 3 1. 13. Exercice de base 4 : Dans une urne 1. 14. Exercice de base 5 : La loterie

événement , on note l’événement contraire de , ( ) la probabilité de et, si est un événement de probabilité non nulle, on note ( ) la probabilité conditionnelle de sachant . 1. a) Donner les probabilités ( ) et ( ). b) Compléter l’arbre de probabilités donné en annexe. 2. a) Traduire mathématiquement l’événement « le visiteur ne réside pas dans le département d’implantation du parc et a acheté son billet par Internet », puis calculer sa probabilité. b) Le directeur affirme qu’il est nécessaire de restructurer

= i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) = P(X n+1 = j | X n = i ) pour tout n ∈ N, pour tout état j et pour toute suite d’états i 0 , i 1 , . . . i n−1 , i , pour lesquels la probabilité conditionnelle a un sens, c.-à-d. tels que P(X n = i , X n−1 = i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) > 0. ) Si en plus la probabilité P(X n+1 = j | X n = i ) ne dépend pas de n, c.-à-d. si ∀n ∈ N, P(X n+1 = j | X n = i ) = P(X 1 = j | X 0 = i ) on dit que la chaîne de Markov est homogène. La propriété de Markov

. . . . . . . . . . . . . . de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 7 12 16 16 18 19 19 23 27 28 30 31 31 31 32 33 34 34 37 39 39 41 41 1 Rappels de probabilités 1.1 Rappels sur la théorie de la

Universit´ de Paris-Sud, centre d’Orsay e PROBABILITES ET STATISTIQUES Cours de licence de Math´matiques fondamentales e Version 2008 Y. Le Jan S. Lemaire Partie 1 Mod´lisations des ph´nom`nes e e e al´atoires e (th´orie ´l´mentaire des probabilit´s) e ee e 1 Chapitre 1 Notions fondamentales 1.1 Enjeu et formalisation Comme souvent en math´matique, la th´orie probabiliste part d’une intuition concr`te, e e e au d´part un peu vague, celle du hasard, ou de l’incertitude