Racine d'un polynôme

Rév is i o n 3g – corri g é 1) Calculer : 5² = 25 2) Voici des polynômes : -5² = -25 5-2= 1 25 (-5)² = 25 -5-2= − 1 25 Ax =x −3 , 2 2 2 B x=−4x 6x−1−x , C x=1 x 3−xx 4−15 x2 4 2 - Réduis et ordonne ceux qui ne le sont pas. B x=−4x 6x−1−x=−4x 5x−1 1 3 5 2 4 4 1 3 5 2 C x= x −xx −1 x = x  x  x −x−1 4 2 4 2 - Calcule les valeurs numériques de polynômes : B(-3/2) ; C( 2) 2 −3 −3 −3 9 15 15 −35 B =−4⋅ 5⋅ −1 = −4⋅ − −1 = −9− −1= 2 2 2 4

clairs de même couleur, la proportion entre clair et foncé est encore d'or. Les triangles jaunes possèdent deux angles de 36°, soit le cinquième d'un angle plat et un de 108°, soit les trois cinquièmes d'un angle plat. Un tel triangle est parfois appelé « triangle d'argent ». Les triangles orange possèdent deux angles de 72°, soit les deux cinquièmes d'un angle plat et un angle de 36°. Avec des triangles d'or et d'argent dont les côtés sont toujours a et b, il est possible de paver intégralement un

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Algèbre 19 2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 7⎥ ⎣ ⎦ d’examiner les signes des minorants principaux, qui doivent être positifs. Les deux premiers termes sont 5 et 5(1) – 2(2)=1, mais le troisième, le déterminant, est –34. Par conséquent, la matrice n’est pas définie positive. Ses trois racines caractéristiques sont 11,1, 2,9 et –1. Ainsi, il existe des valeurs de x1 , x2 et x3 pour lesquelles la forme quadratique est négative. Exercice 13 Prouver que tr(A⊗B) = tr(A)tr(B). Le j-ième bloc de la diagonale du produit est ajjB. Le i-ième

Notes sur l'analyse des séries chronologiques L'analyse d'une série chronologique consiste à étudier l'évolution de cette dernière pour pouvoir expliquer son comportement dans le temps. Le choix d'un modèle pour une série donnée, permet de faire des prévisions dont la qualité est très liée aux choix du modèle. La méthode de décomposition saisonnière permet de décomposer une série donnée en trois composantes : tendance, composante saisonnière et composante irrégulière. Cette méthode peut

Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 225 225 226 227 228 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 165 165 168 170 172 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 233 233 236 239 241 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

polynomiographie est l'art de créer des images en utilisant les racines des polynômes calculés. Le mathématicien Kalantari Bahman a réussi à developper la polynomiographie grâce à l'informatique. The owl, qui signifie « La chouette » appelé ainsi car sur l'image on croirait reconnaître des yeux de chouette, est la représentation graphique de la racine de deux. Eiffel tower est une image trouvée par hasard, elle a été extraite d'un polynomiogramme sans ressemblance avec l'image de la fin

E (ou de manière équivalente, l'équation ¦(x) = l admet une unique solution c dans E). Soit l Î  * . Comme la fonction exponentielle est continue et strictement croissante et à valeurs dans  * , le + + théorème de bijection assure l'existence d'un unique c Î  tel que ec = l. y Cexp 3 e 2 l Figure 1 1 -1 c 1 2 3 x -1 Conséquence : l'exponentielle étant bijective, on a : eA = eB Û A = B Fonctions exponentielles et logarithmes Page 2 G. COSTANTINI

équation est 1.3)   . La solution de cette équation est  d. Résolution d'une équation du premier degré à une inconnue Méthodologie : Le but est de se ramener à la résolution d’une équation du type ax=b ou x+a=b.Pour cela on doit regrouper les inconnues d’un côté et les nombres de l’autre.Exemples : 1) Résoudre 3x + 4 = 5 - 8xIl s’agit d’une équation du 1er degré à 1 inconnue. Pour la résoudre, on va regrouper les termes en x du côté gauche et les nombres du côté droit :   | |   |

pour faire face à la demande, gérer sa production et ses stocks, mais aussi orienter sa politique commerciale (prix, marketing, produits, etc.). Il s'agit ici de prévision à court terme. De même, on essaie de prévoir le rendement d'un investissement, la pénétration d'un marché ou l'effet du passage aux 35 heures. Il © Revue MODULAD, 2006 - 82 Numéro 35 s'agit alors de prévisions à moyen terme. Enfin, on peut envisager des prévisions à long terme comme la prévision des besoins en services publics