Suite définie par récurrence

∁3 Exercice 2 : 6 points On considère la suite définie par : U0=0Un+1=2Un+1Un+2 pour tout n∈N. 1. Sur la feuille annexe a été tracée la courbe ξf représentative de la fonction fx=2x+1x+2 et la droite Δ d’équation y=x. Placer sur l’axe des abscisses U0,U1,U2,etU3 (sanseffectuer de calcul et laissera apparents les traits de construction) 2. Montrer par récurrence que pour tout n∈N, 0≤Un<1. 3. Etudier alors le sens de variation de(Un)

Comportement d’une suite numérique 1. Suites majorées, minorées, bornées Définitions :    Soit une suite définie sur . Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée ou

Chez l’humain, l’appareil auditif (principalement le tympan et la cochlée) permet de percevoir les vibrations allant de 20 Hz à 20000 Hz (ou 20 kHz). Mais comment ce système de sonar est-il utilisé par la chauve-souris ? Nous commencerons par définir le principe d’une onde et sa propagation dans l’air ensuite, nous expliquerons le principe du sonar ainsi que l’effet Doppler. Enfin, nous ferons le lien entre les ondes sonores et le sonar des chauves-souris (analyses du signal). I ONDE SONORE

arithmétiques corr exos.dviCorrection : montrer qu’une suite est ou n’est pas arithmétique www.bossetesmaths.com � Exercice 1 (Montrer qu’une suite n’est pas arithmétique) Pour montrer que la suite (un) n’est pas arithmétique, on calcule les 3 premiers termes. a) Pour tout n ∈N, un =−4n+6n 2. u0 =−4×0+6×02 = 0 ; u1 =−4×1+6×12 =−4+6= 2 ; u2 =−4×2+6×22 =−8+6×4=−8+24= 16 . u1−u0 = 2−0= 2 et u2 −u1 = 16−2= 14. 2 6= 14 donc u1−u0 6= u2−u1 donc la suite (un) n’est pas arithmétique . b) Pour tout n ∈N, un

1 1 1 un + 4 − 6 = un − 2 = (un − 6) = vn . 3 3 3 3 1 . 3 La suite (vn ) est une suite géométrique de raison b) On sait alors que pour tout entier naturel n vn = v0 × Or v0 = u0 − 6 = −5 et donc pour tout entier naturel n on a un = vn + 6 = −5 1 3 n 1 3 n . + 6. 1 3 n Pour tout entier naturel n, un = −5 n + 6. c) Puisque −1 < 1 < 1, on sait que 3 n→ +∞ lim 1 3 = 0. On en déduit que la suite (un ) converge et que lim un = 6. 210 = 21. 10 n→ +∞ 2) a)

étudier les trois suites (xn )n∈N , y n n∈N et (zn )n∈N définies par :   xn+1 = 3xn + y n − zn y n+1 = −2xn + 2zn x0 = 1, y 0 = 1, z0 = 1 et ∀n ∈ N,  zn+1 = zn 1. (a) En utilisant la définition de la suite (zn )n∈N ,déterminer directement la valeur de zn . (b) Ecrire alors xn+1 et y n+1 en fonction de xn et de y n . DS2 1 2. On introduit la suite (r n )n∈N définie par r n = xn + y n pour tout entier naturel n. (a) Etablir que la suite (r n )n∈N est arithmétique et préciser sa raison. (b) En

1 1.1.1 Rappels Equation d’Hamilton telles que les équations du mouvement dans l’espace des phases des coordonnées généralisées soient données par dp dt dq dt Les équations de Hamilton sont liées à une fonction H, appelée Hamiltonien définies par : R2n → R (qi , pi ) → H(qi , pi ) = − ∂H ∂q ∂H = ∂p On introduit aussi le champ de vecteurs associé à cette équation différentielle appelé aussi champ hamiltonien : XH = ( ∂H ∂H ,− ) ∂p ∂q 1.1.2 Crochets de Poisson Définition 1

la dimension. b) Montrer que (E, +, ×) est un anneau commutatif. c) A quelle condition sur (a, b, c) ∈ R3 , la matrice A = M (a, b, c) est-elle inversible dans M3 (R) ? On suppose cette condition vérifiée. En considérant l’application f : E → E définie par f (X) = AX, montrer que A−1 ∈ E. Exercice 26 [ 01267 ] [correction] [Matrices de permutation] Soit n ∈ N\ {0, 1}. Pour σ ∈ Sn , on note Transposition P (σ) = δi,σ(j) Exercice 22 [ 01263 ] [correction] Déterminer une condition nécessaire

dans c l'équation 4z² + 3 = 0 . Donner les solutions sous forme algébrique et exponentielle. 1.2. Soit la suite (un) définie par un u0 = 1 et un+1 = , pour tout n de n. 1 + un a. Déterminer ses cinq premiers termes, puis faire une conjecture sur l'expression du terme général de la suite (un) . 1 b. On suppose un ≠ 0 pour tout n de n et on pose vn = . un Montrer que la suite (vn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison. c. En déduire l'expression de vn puis celle

1 Raisonner par récurrence Pour reprendre contact 1 Avec un tableur a. Pour n Œ ‫ގ‬, un = 3n - 1 3n + 1 b. Pour n Œ‫ގ‬, un +1 = 2un + 1 et u0 = - 1 un c. un +1 = 3un2 - ( n - 1) + 1 ; u0 = - 1 (n Œ‫)ގ‬ 2 Calculs de termes d’une suite a. u1 = - 3 ; u2 = - 2 ; u3 = 3 b. u1 = 5 ; u2 = 7 ; u3 = 11 c. u1 = 6 ; u2 = - 2 ; u3 = 6 d. u1 = 2 ; u2 = 7 ; u3 = 12 3 Listes incomplètes 1. a. 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729 2. a. Pour n Œ‫ގ‬, un = 3n b. 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63