Théorème de Bernoulli

cela, on déroule les étapes suivantes : a. On exprime, à l’aide du théorème des quantités de mouvement, la force extérieure qu’exerce la conduite sur le fluide. b. On en déduit la force qu’exerce le fluide sur la conduite, à laquelle on ajoute la force qu’exerce l’atmosphère sur la conduite. c. On introduit alors dans l’expression trouvée la relation entre les pressions d’entrée et de sortie donnée par le théorème de Bernoulli. d. On a alors la force totale exercée sur la conduite, que l’on

8 Sachant que la boule tirée est noire, il y a une chance sur neuf d'avoir obtenu 1 avec le dé. 2. a. On constate que l'on répète une épreuve de Bernoulli ( en considérant comme succès : une partie gagnée) 5 fois de suite de façon indépendante et identique ( on remet les boules après chaque partie ). Il s'agit donc d'un schéma de æ 3ö Bernoulli et comme la variable aléatoire X dénombre les succès, X suit une loi Binomiale B ç 5; ÷ . è 8ø 3 5 -3 æ 5ö 3 3 La probabilité de gagner exactement

Quelques lois usuelles discrètes Introduction Lois discrètes finies 1 Loi de Bernoulli ; 2 Loi binomiale ; 3 Loi hypergéométrique ; 4 Loi uniforme. Lois discrètes infinies 1 Loi géométrique ; 2 Loi de Poisson. I. Elhattab (ENCG) Variables Discrètes 2011 - 2012 19 / 27 Quelques lois usuelles discrètes Schéma de Bernoulli On appelle “Schéma de Bernoulli” ou “expérience aléatoire dichotomique”, notée E, l’expérience aléatoire qui donne lieu

indépendants Définition : A et B sont 2 événements de probabilité non nulle. ▪ A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre. ▪ A et B sont indépendants si et seulement si p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(A). Théorème : Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si ils vérifient une des trois conditions : p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B) ou p( A ∩ B) = p(A)p(B). Démonstration : ▪ Par définition, les deux premières sont équivalentes

de la dynamique des fluides, ainsi que une expérience simple avec 2 feuilles de papier permettant de comprendre le théorème créer par ce dernier. Cette banale expérience consiste à tenir deux feuilles parallèles dans nos mains et de souffler entre. En soufflant nous communiquons une vitesse a l'air comprise entre les deux feuilles qui vont se rapprocher. D'après le théorème de Bernoulli, plus l'air va vite, plus la pression est faible. Donc la pression régnant entre les deux feuilles est inférieure

2. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+Δt, on obtient : (la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes) ρ*v²/2+ρ*g*z+P = Constante ρ= masse volumique en Kg/m3 g= 9,81 = Gravité terrestre z= Profondeur en m ρ*g*z = Pression de pesanteur ρ*v²/2 = Pression cinétique v= Vitesse du fluide P= pression statique en pascal La relation de Bernoulli peut s'écrire : (d'un

sans biais 3. Risque d’un estimateur 4. Information de Fisher 5. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao) 6. Exercices Chapitre 6. Amélioration d’estimateurs 1. Statistique exhaustive 2. Statistique exhaustive minimale 3. Théorème de Rao-Blackwell 4. Théorème de Lehmann-Scheffé 5. Cas des familles exponentielles 6. Exercices Chapitre 7. Comportement asymptotique d’un estimateur 1. Normalité asymptotique 2. Estimateurs empiriques des moments 3. Estimateur du maximum de vraisemblance 4. La

Solution En général, on ne revient pas à la définition de la notion de limites pour déterminer les limites des suites proposées mais on utilise les propriétés sur les limites usuelles, les règles opératoires sur les limites ainsi que les différents théorèmes qui seront vus dans la suite de cette partie. 1 tend vers 0 lorsque n tend n2 vers +∞ , c’est-à-dire lorsque n devient aussi grand que l’on veut. Intuitivement, a) On souhaite démontrer que le nombre le résultat semble naturel. 1

dé nit les loi marginales de X et Y par : PX (x) = P (X = x) et PY (y) = P (Y = y) : Exemple : on considère une population d'ordinateurs et les deux variables aléatoires X et Y dé nies ainsi : X est une variable X = 1 si l'ordinateur est neuf de bernoulli de paramètree 0:50 dé nie par et Y désigne le nombre de pannes sur une année X = 0 si l'ordinateur est vieux suivant la distribution jointe suivante : Y 0 1 2 3 4 X Donner P (Y = 2) ; P (X = 1) ; P (1; 2) ; on dé nit la distribution con0 0:35 0:065

même probabilité d’apparition (équiprobabilités). Si Ω se décompose en n événements élémentaires, on a : ∀i ∈ (1, 2, . . . , n) on a : P ( ei ) = 1 n Exemple : Pour un dé à jouer équilibré, chaque face a une probabilité de d’apparition. 1 6 Théorème 1 : Dans une loi équirépartie, la probabilité de l’événement A vérifie : P( A) = PAUL M ILAN nombre d’éléments de A nombre de cas favorables = nombre d’éléments de Ω nombre de cas possibles 4 T ERMINALE S 1. RAPPELS Remarque : Lorsque la loi