Théorème de la bijection

1.2 Bijection Théorème 2 dit de la « bijection » Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b], Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B]. Démonstration Nous allons établir le théorème dans le cas où f est strictement croissante. Le cas où f est décroissante sera facile à en déduire. On sait que f est une fonction continue sur [a, b]. Considérons le réel k compris entre f (a) et f (b). D’après le théorème

Théoreme des valeurs intermédiaires : Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution

Ch 3 Fonctions : limites , continuité , dérivabilité (d’après « Faire le point » TS éd. Hachette) Comment appliquer le théorème des « valeurs intermédiaires » ? Méthode Le théorème dit « des valeurs intermédiaires » permet de démontrer qu’une fonction prend au moins une fois une valeur donnée , c’est à dire de justifier l’existence de solution(s) pour une équation du type f(x) = k . Il faut pour cela que la fonction soit continue

donc i(1, 0, 0), j(0, 1, 0) et k(0, 0, 1). Théorème Dans l’espace R3 muni d’un repère orthonormé (O, i, j, k). La norme d’un vecteur u(ux , uy , uz ) vaut : u = 2 2 2 ux + uy + uz Les opérations fondamentales sur les vecteurs se transposent simplement sur les coordonnées : u + v a pour coordonnées (ux + vx , uy + vy , uz + vz ) αu a pour coordonnées (αux , αuy , αuz ) Proposition Inégalité triangulaire : u + v ≤ u + v Théorème de Pythagore et sa réciproque : u et v sont orthogonaux

¦(0) = 0 Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On rappelle

¦(0) = 0 è xø Montrer que : 1. ¦ est continue en 0. 2. ¦ est dérivable en 0. 3. ¦' n'est pas continue en 0. Exercice 4 Un petit théorème de point fixe Soit ¦ une fonction continue et définie sur l'intervalle [0 ; 1] et à valeurs dans l'intervalle [0 ; 1]. Démontrer que ¦ admet (au moins) un point fixe dans [0 ; 1]. Exercice 5 Où l'on applique le théorème de bijection à la dérivée Démontrer que l'équation x4 + x3 - x + 1 = 0 n'a pas de solutions sur . Exercice 6 Une limite classique On

0 est bijective.  Encore des exemples !!! 5 Algèbre 1 Expression de l’application, l’injection, la surjection et de la bijection à l’aide des symboles :  Une application : ? = ? ⟹ ? ? = ? ? .  Une injection : ? ? = ? ? ⟹ ? = ? ?? ? ≠ ? ⟹ ? ? ≠ ? ? .  Une surjection : ∀??? ∃? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? .  Une bijection : ∀??? ∃! ? ∈ ? ??? ??? ? = ? ? . Théorème : Une application est bijective ssi elle admet une réciproque. Pour la démonstration on utilise les deux lemmes suivants. Lemme

g l l' ≠ 0 l l’ l ∞ 0 ∞ l' ∞ ∞ ∞ Indéterminé l 0 ∞ ∞ 0 ∞ 0 0 Indéterminé Exemples : • 3 2 = 0 x→+ x 3 x +5 lim =–G 1 x→– −3 x 2 x lim 2 =+G x→0x – 2 lim −   •   • d) Limite d'une fonction composée. Le théorème qui suit est assez naturel. Théorème : Soit f et g deux fonctions. a, L et L’ trois réels éventuellement égaux à +/– ∞  lim f(x) = L x→a Si  lim g(t) = L’ alors lim g(f(x)) = L’ x→a  t → L Par exemple, avec la fonction f définie par tout réel x par : 1 f(x) =

. . . Quelques théorèmes d’arithmétique 2 Ensembles et applications 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Écriture d’un ensemble . . . . . . . . . 2.1.2 Comparaisons d’ensemble . . . . . . . 2.1.3 Opérations sur les ensembles . . . . . . 2.2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Images et antécédents . . . . . . . . . 2.2.3 Restriction, prolongement, composition 2.2.4 Injections, surjections et bijections . . 2.3 . . . . . 2

limite d’une fonction composée, on utilise la technique du changement de variable pour alléger la rédaction. IV/ Limites et ordre : 1) Théorème d’encadrement : Th des gendarmes : soit f, g et h trois fonctions vérifiant, pour tout x voisin de α f(x) ≤ g(x) ≤ h(x). Si, de plus, limx→∝fx=l et limx→∝hx=l Alors limx→∝gx=l 2) Théorèmes de comparaison : Th : soit f et g deux fonctions vérifiant, pour tout x voisin de α, f(x) ≤ g(x) Si limx→∝fx=l et limx→∝gx=l' Alors