Théorème des accroissements finis

familier pour ne pas en présenter quelques propriétés caractéristiques avant d’aborder l’ensemble des nombres complexes. On trouvera en annexe une idée de construction de l’ensemble des nombres réel 1 . Certaines définitions de ce chapitre seraient des théorèmes si notre ambition était une construction de l’ensemble des nombres complexes à partir de l’ensemble des nombres réels ; cependant, cette ambition ne serait pas conforme à l’esprit du programme 2 . 1.1 1.1.1 L’ensemble C des nombres complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Nombres

l'embauche par des taxes, ou interdisent le plein emploi des ressources, notamment en imposant des prix (New Deal) et surtout des salaires minimum, suffisent à l'expliquer. Que dans ces conditions, accroître la demande globale, a fortiori pour les produits finis, n'est qu'un expédient temporaire pour tourner ces contraintes, qui doit faire monter les prix. Ceux, notamment les syndicats, qui veulent imposer des rémunérations incompatibles avec le plein emploi, finiront par s'en apercevoir, et manipuler la demande

Apprendre Les concours se préparent sur deux ans. Il est essentiel que les candidats aient fourni un travail régulier afin que les notions soient parfaitement acquises et que les automatismes soient bien en place. On ne peut utiliser à bon escient les théorèmes, définitions et propriétés que si on les connaît parfaitement c’est-à-dire si on en connaît les hypothèses et les conclusions. Un travail de « par cœur » est une composante fondamentale de l’activité mathématique. La constitution d’un formulaire

des prix des facteurs sur longue période. Paul Samuelson présente En 1948 la synthèse de ce courant de pensée sous forme d'un théorème: en cas d'homogénéité des facteurs de production, d'identité des techniques, de concurrence parfaite et de parfaite mobilité des produits, l'échange international égalise le prix des facteurs de production de nation à nation. C'est le théorème H.O.S., du nom des trois économistes qui ont donné naissance à la théorie des facteurs de production. En fait, l'expérience

appliquer le théorème des fonctions implicites pour écrire l’ensemble E comme le graphe d’une fonction C1 ? — oui, pour avoir un graphe du type y = φ(x) mais pas x = φ(y) — oui, pour avoir un graphe du type x = φ(y) mais pas y = φ(x) — oui, tant pour avoir un graphe du type y = φ(x) que du type x = φ(y) (BONNE) — non Version 2 Considérer la fonction f : R2 → R donnée par f(x, y) = x2 + y4 − xy − 15 et l’ensemble E := {(x, y) : f(x, y) = 0}. Au voisinage du point (1, 2) peut-on appliquer le théorème des fonctions

produit plus ; chaque travailleur a accru sa part productive. Production annuelle d’un pays = quantité de travail x productivité horaire Historiquement, dans la plupart des pays industrialisés, d’abord il y a eu une croissance extensive (accroissement du nombre de travailleurs : USA en 1810 : 14,7 millions et en 1987 : 114,2 millions = x8). Mais progressivement, grâce aux progrès techniques, la durée annuelle du travail a en tendance à baisser. La croissance est devenue intensive : hausse

ln n nα × ln(n + 1) n+1 Or, la fonction x → ln(ln x) est dérivable sur son domaine de définition, de dérivée x → 1 x ln x . On en déduit, par l’inégalité des accroissements finis, que |ln(ln(n + 1)) − ln ln(n)| ≤ Il en découle : 0≤ un+1 un ≤ (n + 1)α n × exp α n n ln n × ln(n + 1) n+1 1 . n ln n On en déduit facilement, par les théorèmes de composition des limites et par le fait que ln(n+1)/(n+1) tend vers 0, que la limite de un+1 /un est nulle. Par la règle de d’Alembert, la série de terme général

n→∞ 1+ 1 n n = e. En particulier, on voit que la limite n’est pas 1, comme on aurait pu le croire en sup1 posant que le fait que 1 + n tende vers 1 entraîne que sa puissance n-ième tende aussi vers 1. D’une manière générale, aucun théorème classique ne s’applique quand les puissances ou le nombre de facteurs d’un produit est variable. Nous allons simplifier le produit en considérant son logarithme. n 1+ ln k=1 20 k n2 n = ln 1 + k=1 k n2 9782100547678-Fresl-C1

développera des techniques de base permettant une maîtrise des représentations graphiques et une bonne connaissance des méthodes statistiques. II CONSEILS METHODOLOGIQUES: 1) L'activité mathématique ne consiste pas en une suite bien ordonnée de théorèmes: toute introduction d'une notion nouvelle doit être précédée de l'étude d'une situation permettant d'appréhender cette notion et suivie d'applications immédiates. 2) L'enseignement des mathématiques ne saurait se réduire à un ensemble de résultats