Théorème des nombres premiers

QUELQUES THEOREMES D'ANALYSE ELEMENTAIRE LIAISON LYCEE - UNIVERSITE LEIBNIZ Gottfried Wilhelm , 1646-1716 Daubelcour Jean-Pierre IREM de Lille 1 SOMMAIRE PREFACE CHAPITRE I : LES NOMBRES REELS COMME DEVOPPEMENT DECIMAL ILLIMITE. CHAPITRE II : LIMITES DE SUITES ET DE FONCTIONS . CHAPITRE III : CONTINUITE D'UNE FONCTION DE LA VARIABLE REELLE. CHAPITRE IV : PROPRIETES DES FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE DE R. ( La dichotomie : outil de calcul et de démonstration) CHAPITRE V : COMPLEMENTS

avec facteurs communs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 2 Fractions I Ecritures fractionnaires égales . . . . . . . . . . . . II Somme de deux nombres en écritures fractionnaires III Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Quotient de nombres en écritures fractionnaires . . . . . . 4 4 4 5 5 3 Puissances I Définitions, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Opérations

exponentielle Terminale S Introduction historique : Descartes , en 1639, cherchait à construire une courbe connaissant une propriété de ses tangentes. La recherche d'une fonction connaissant une propriété caractéristique de sa dérivée, occupa nombre de Mathématiciens et Physiciens du 17ème siècle. La résolution de ces équations différentielles permis de mieux comprendre l'univers. I] Equation différentielle 1. Définition 1 : On appelle équation différentielle le problème consistant à

« méthode de Cardan ». Dans ce chapitre, après quelques définitions des concepts de base, nous allons étudier l’arithmétique des polynômes. Il y a une grande analogie entre l’arithmétique des polynômes et celles des entiers. On continue avec un théorème fondamental de l’algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Dans ce chapitre K désignera l’un des corps Q, R ou C.

l’ensemble des ω ∈ Ω tels que ω appartienne à tous les An sauf à un nombre fini d’entre eux. On vérifie que lim sup et lim inf sont des événements vérifiant µ(lim sup(An )n ) = lim µ( m≥n Am ) et µ(lim inf(An )n ) = lim µ( m≥n Am ) les limites étant bien définies car portant sur des suites décroissantes et croissantes d’événements. Ci-dessous un résultat utile à la définition de la mesure de Lebesgue sur R, Rn ,... Théorème 1.1.1 (Théorème d’extension de Hahn - Caratheodory) Si Ω est un ensemble, F une algèbre

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : ( ) √ Déterminer les limites de , si elle existent, en Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Soit √ . et en la fonction définie par ( ) Montrer que admet une limite en Allez à : Correction exercice 2 : ( ) et déterminer cette limite. Exercice 3 : Déterminer

sans réponse. 1  u = u + 1 . Considérons par exemple la suite définie par  n +1 2 n u0 = −1  Représentons graphiquement les premiers termes de la suite (représentation tracée avec une animation du site) Il semble donc que cette suite soit croissante, majorée (par 2) et même convergente. → Pourtant, lorsqu’on essaye les méthodes classiques pour démontrer ces deux premiers points, on bloque. Par exemple : 1 1 un +1 − un = un + 1 − un = 1 − un et nous ne 2 2 sommes pas capables de conclure sur le

R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels

11 Arbres couvrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 Arbre couvrant de poids minimum . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Encadrement du nombre chromatique . . . . . . . . . . . . . 1.12.2 Algorithme de coloration de Welsh et Powell . . . . . . . . . 1.12.3 Graphes parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.4 Coloration des sommets d’un graphe planaire . . . . . . . .

des deux suites 13 Théorème de Zeckendorf 13 Rapports entre f(n) et f(kn) 13 Les nombres premiers et la suite 14 Sommes de nombres de la suite 14 Relations entre les nombres de la suite de Fibonacci 14 Relations entre les nombres de la suite de Lucas 15 Le nombre d’or et la suite de Fibonacci 17 Démonstration 17 La formule de Binet 18 Phi, une fraction continue 18 Puissances de Phi 19 Le nombre d’or et la suite de Lucas 19 Puissances de Phi et nombre de Lucas 20 π et la