Théorème des nombres premiers

extraire la raciune sizième d’un nombre négatif, alors : dom(f ) = {x ∈ R / (9 − 3x) 6= 0 et (9 − 3x) ≥ 0} càd dom(f ) = {x ∈ R / (9 − 3x) Â 0} = {x ∈ R / x ≺ 3} que l’on écrit sous la forme dom(f ) = ]−∞, 3[ . 2) Soit f : x 7−→ f (x) = ln(− |x|) On a : dom(f ) = ∅ ! 1.2 : Construction axiomatique de R et Propriétés de base 2 : a) Construction sommaire et axiomatique du corps des Réels L’ensemble N ( noté aussi N ou IN ) = {0, 1, 2, 3, ...} , dit ensemble des nombres entiers naturels ou des entiers

. . . . . 1 1 4 5 7 8 10 10 11 11 CHAPITRE II. Fonctions holomorphes II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . . . . . . . II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . . II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte . II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

toujours un chemin entre deux sommets quelconques de celui-ci. Remarques 3. • On supposera ici qu’il n’y a qu’un nombre fini de sommets, autrement dit que les graphes sont finis. • On sous-entendra de plus, sauf mention du contraire, que les arêtes sont nonorientées ((A, B) = (B, A)) et ne sont pas multiples : au plus un trait peut relier deux sommets. On appelle degré d’un sommet le nombre d’arête qui en sortent. Remarquons que chaque arête contribue pour un pour les degrés de deux sommets. Ce qui

donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénal. S o m m aire n introduction à la classe de troisième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 > Pro gramme NoMBreS eT caLcuLS 1 Calcul numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Calcul littéral 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

domaine du diagramme la nature des phases présentes. 2. On refroidit, très lentement 50 g d'un mélange liquide initialement pris à 100°C, constitué de 40 g d' naptol et 10 g de naphtalène. - A quelle température, lue sur le diagramme, apparaissent les premiers cristaux ? Quelle est leur nature ? - Donner l'allure de la courbe de refroidissement de ce mélange ( courbe donnant la température de ce mélange en fonction du temps) - Calculer en utilisant le diagramme, la masse de chacune des phases ainsi que

d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorème de Nash-Moser 2.1 Espaces de Fréchet et bonnes applications . . . . . . . 2.2 Bons espaces de Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Le théorème de Nash-Moser : énoncé général . . . . . . 2.4 Le théorème de Nash-Moser dans les espaces de Hölder 2.4.1 Théorie de Littlewood-Paley . . . . . . . . . . . 2.4.2 Quelques estimations douces . . . . . . . . . . . 2.4.3 Preuve du théorème de Nash-Moser . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

j = 1 − → Le vecteur nul 0 est celui dont les deux coordonnées sont nulles. a b . On écrit de 2 Vecteurs de R2 ou de R3 → − → − R Les coordonnées d’un vecteur dépendent de la base ( i , j ). On peut alors démontrer : Théorème I.1 → → Si − u et − v sont des vecteurs du plan, λ un scalaire (=un réel) alors a − → u = , b a′ − → v = b′ implique − → → u +− v = a a′ + b = b′ a + a′ b + b′ et a → λ− u =λ = b

la fonction ƒ définie sur ]0 ; +∞[ par ƒ(x) = 2 − x − • Résoudre l'équation ln(x − 2) = 0 et l'inéquation ln(x − 2) • Résoudre l'équation ln(2x + 1) = ln(3 − x). et g(x) = ln(x − x − 2) 4 telle que F(1) = 2. x 2 0. II) Théorème fondamental Théorème 1 Pour tous réels a et b strictement positifs : ln(ab) = ln a + ln b (la fonction logarithme transforme les produits en somme) Remarque : Si a et b sont strictement négatifs, on a une relation analogue : ln(ab) = ln(−a) + ln(−b), et

0,5)2 = 0,25 ; c. Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif donc le carré d’un nombre relatif est un nombre positif. 42 2 a. 3 et – 3. b. 1,42 = 1,96 ; 1,52 = 2,25 ; 1,412 = 1,988 1 ; 1,422 = 2,016 4 ; 1,4142 = 1,999 396 ; 1,4152 = 2,002 225. 1,414 213 5622 est un nombre décimal avec 18 chiffres après la virgule, le dernier étant égal à 4. Ce nombre n’est pas égal à 2. Donc c n’est égal à aucun de ces nombres. c. Le nombre négatif dont le carré est 2 est – 12.

Exercice 1 : Formule de Burnside : Soit G un groupe ni opérant sur un ensemble ni 1 E. Montrer que le nombre d'orbites de E est égal à |G| g∈G Card {x ∈ E / g.x=x}. Corrigé : Il est clair que {{(g,x)∈ G×E / g.x=x} / g∈G} et {{(g,x)∈G×E / g.x=x} / x∈E} forment deux partitions de {(g,x)∈G×E / g.x=x}. G et E étant nis, on a donc g∈G Card {x∈E / g.x=x} = x∈E Card {g∈G / g.x=x}. Or, pour tout élément x de E, {g∈G / g.x=x} = Gx donc x∈E |Gx |. g∈G Card {x∈E / g.x=x} = Si x est un élément de E, on note