Théorèmes de point fixe

masse m=500g. L’autre extrémité du ressort est fixe. Le solide S peut se déplacer, sans frottement, sur un plan horizontal, le long de l’axe du ressort. On écarte le solide de sa position d’équilibre de Xm=2cm, puis on le libère sans vitesse initiale. 1) Schématiser l’oscillateur à un instant t quelconque ; faire l’inventaire des forces qui s’exercent sur le solide à cet instant t puis représenter ces forces. 2) Par application du théorème du centre d’inertie appelé aussi deuxième loi de

réflexion sur le travail. Quatre moments peuvent être compris dans l’extrait qui nous occupe, lesquels correspondent aux articulations naturelles du texte. Premièrement, Marx va s’attacher à cerner « l’essence » du travail constituant les marchandises du point de vue de leur valeur d’usage et de leur valeur proprement dite (marchande). Puis, en deuxième lieu, Marx va mettre en rapport le concept de « force productive » (Produkitvkraft) avec celui de « travail utile » (nützlische Arbeit). Ce qui lui permettra

électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Flux du champ électrostatique - Théorème de Gauss . . . . . . . . . 8 1.5 Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Equations locales de l’électrostatique 9 3 Magnétostatique 10 3.1 Distribution de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Champ magnétostatique, circulation, théorème d’Ampère . . . . . . 11 3.3 Dipôle magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i−1 j=1 On a le Théorème : La somme Mi est directe ssi ∀i ∈ {2, · · · , 0}, Mi ∩ Mj = {0} Sous-espaces vectoriels supplémentaires Soient M et N deux sous-espaces vectoriels de E. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. E = M ⊕ N 2. E = M + N et M ∩ N = {0} 3. ∀x ∈ E, ∃!(x1 , x2 ) ∈ M × N, x = x1 + x2 On dit que M et N sont deux sous-espaces supplémentaires de E. 1 Projecteur Soit p ∈ L(E). On dit que p est un projecteur si p ◦ p = p. On a le Théorème : Si p est un projecteur

CHAPITRE I. Formes différentielles, homotopie I.1. Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . I.2. Intégration des 1-formes différentielles . . . . . . I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes I.2.2. Indice d’un lacet par rapport à un point . . I.3. Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4. Deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.1. Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . I.4.2. Quelque propriétés de l’indice . . . . . . . Exercices . . . . . . . .

variables . . . . 1.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Eléments de correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Théorèmes généraux d’existence et unicité 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Théorème d’existence . . . . . . . . . . . . 2.3 Théorèmes d’unicité . . . . . . . . . . . . . 2.4 Théorèmes sur les solutions globales . . . . 2.5 Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eléments

ignorés, étaient rejetés par ses contemporains à cause de la position socialiste de leur auteur et de la complexité mathématique de ses théorèmes, ses seuls adeptes se trouvant au sein de l’Ecole de Lausanne, dont Pareto. C’est dans les années 1930 que ses idées vont réapparaitre, mais ce sont pendant les années 1950 qu’elles connaissent un véritable essor au point de s’imposer comme la doctrine à l’origine du libéralisme dominant depuis. Présentation de l’auteur : naissance le 16 décembre 1834

c’est une fonction homogène du 2ème ordre…) Théorème d’Euler : . Ainsi, comme et  : . (La relation n’est pas d’Euler – qui n’a pas fait de physique –, mais elle découle de son théorème) Remarques : Pour un corps pur, on a alors , soit . Attention : les dépendent de la composition, on ne peut donc pas considérer que G est la somme des contributions des différents constituants. Pour un système de points matériels : . Donc (2ème ordre) Donc (Théorème du Viriel) 2) Relation de Gibbs–Duhem Démonstration :

pur 2.4 Machines thermiques 2.5 Diffusion thermique 2.6 Rayonnement thermique 76 76 77 81 83 85 86 3. Mécanique du point 3.1 Cinématique 3.2 Changement de référentiel 3.3 Lois générales de la mécanique 3.4 Oscillateurs 3.5 Mouvement d’une particule chargée 3.6 Systèmes de deux points matériels 88 88 90 91 95 98 99 4. Mécanique du solide 4.1 Cinématique du solide 4.2 Théorèmes généraux de la dynamique 4.3 Contacts entre les solides 101 101 103 104 5. Optique 5.1 Généralités 5.2 Optique géométrique

lim µ( m≥n Am ) et µ(lim inf(An )n ) = lim µ( m≥n Am ) les limites étant bien définies car portant sur des suites décroissantes et croissantes d’événements. Ci-dessous un résultat utile à la définition de la mesure de Lebesgue sur R, Rn ,... Théorème 1.1.1 (Théorème d’extension de Hahn - Caratheodory) Si Ω est un ensemble, F une algèbre sur Ω, et ν une application de F dans [0, +∞] additive (telle que ν(A ∪ B) = ν(A) + ν(B) pour A ∪ B = ∅), alors si A est la tribu engendrée par F , il existe une mesure