Variable indépendante

paramètre p= . 6 Propriété 1 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant la valeur 1 si S se produit et 0 sinon, a la loi de probabilité ci-contre. Alors : • E[X] = p k p (X = k) 0 1 1–p p • Var(X) = p (1 – p) → On dit que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Définition 2 : On appelle schéma de Bernoulli une répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Remarque : On représente en général un schéma de Bernoulli par un arbre. II) Loi

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables aléatoires réelles discrètes finies 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Espace probabilisé fini . . . . . . . . . 2.1.2 Conditionnement et indépendance . . . 2.1.3 Variables aléatoires finies . . . . . . . . 2.1.4 Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . 2.2 Complément : espérance conditionnelle . . . . 2.3 Rappels (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Couples de variables aléatoires finies . 2.3.2 Vecteurs aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Variables aléatoires discrètes - Lois discrètes usuelles 1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . 1.4 Paramètres d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 1.4.1 Espérance mathématique . . . .

3 euros. On désigne par X la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur. Les trois questions de l'exercice sont indépendantes. 1. Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne. a. Démontrer que: p(X = -1) = ( n+lO 2)(n+9 ) . 2 b. Calculer, en fonction de n, la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable X. c. Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire X vaut : E(X)

l’instant t = 1 si elles sont réalisées ou non. 8 Remarque: Bien sûr, on a F0 ⊂ F1 , en effet plus le temps avance plus l’on acquiert de l’information. Remarque: Une variable aléatoire est F1 -mesurable si et seulement si elle est connue avec l’information donnée par F1 , i.e. déterminée à l’instant 1. En effet, heuristiquement Une variable aléatoire X est F1 -mesurable ⇔ L’image réciproque de tout Borélien B de R est dans F1 ; ⇔ Je peux dire en t = 1 pour tout Borélien B de R si X est à valeur dans B;

de fabrication, des véhicules, des appels à la mémoire d’un ordinateur, sollicitations de l’organe central d’un réseau téléinformatique, …). En première approximation on considère souvent que les délais entre les arrivées sont des variables aléatoires indépendantes équidistribuées. Le flux est alors ce qu’on appelle un processus de renouvellement stationnaire. Le cas le plus simple est celui où la loi commune est la loi exponentielle, le flux d’arrivée est alors un processus de Poisson.

..... 1 Introduction Il est toujours possible d’associer à une variable aléatoire une probabilité et définir ainsi une loi de probabilité. Lorsque le nombre d’épreuves augmente indéfiniment, les fréquences observées pour le phénomène étudié tendent vers les probabilités et les distributions observées vers les distributions de probabilité ou loi de probabilité. Identifier la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire donnée est essentiel car cela conditionne le choix des méthodes

p (t) = p(t)Q, avec p(t) = (pj (t))j∈E , et pj (t) = i∈E pij (t)pi (0) soit sous forme matricielle p(t) = p(0)P(t) Abdeslam Kadrani, INSEA–Rabat Processus Stochastique Loi continue sans mémoire Loi exponentielle Une variable aléatoire X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre α (α > 0) si P[X ≤ x] = F (x) = La densité de X est f (x) = αe −αx , x ≥ 0 0, x < 0 1 − e −αx , x ≥ 0 0, x < 0 L’espérance et la variance de X sont E [X ] = 1 , α Var [X ] = 1 α2 La loi exponentielle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lois de Gauss bidimensionnelles 2.1 Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lois marginales des variables aléatoires X1 et X2 2.2.2 Covariance entre X1 et X2 . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrice de covariances du couple (X1 ; X2 ) . . . . 2.3 Loi gaussienne bidimensionnelle centrée et réduite . . . . 2.4 Lois gaussiennes conditionnelles . . . . .

on a donc : p(F) = p(R1 ∩ N2 ) + p(N1 ∩ R2 ) 4 9 1 1 = × + × 10 5 10 10 17 = 0, 17 = 100 3. Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10 € ; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2 € ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1 €). a. Déterminer la loi de probabilité de X. N2 R2 R1 4 5 N2 R2 www.bac-de-maths.fr - Le partenaire de votre réussite ! Bac S de maths 2008 - Métropole septembre