Variable indépendante

la carte tirée est rouge, il y a une chance sur deux que ce soit un carreau. corrigé commenté 93 CHAPITRE 3 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES 2 Indépendance et modélisation 1. Indépendance de deux événements Deux événements A et B sont indépendants si, et seulement si, p ( A B ) = p ( A ) × p ( B ). Conséquence : p A ( B ) = p ( B ) et p B ( A ) = p ( A ). 2. Modélisation Définitions : Une loi de probabilité, ou distribution de probabilité, est une fonction P qui à tout événement A associe

p p b n a ( Binôme de Newton) p-listes Anp arrangements C np combinatoires 1 3 1 2 B p(P,B) 1x1 2 3 P 2 3 N p(P,N) 1x2 2 3 1x3 2 5 1x2 2 5 Variables Aléatoires Une variable aléatoire est une application X de l'univers Ω dans IR. On détermine la loi de probabilité d'une variable aléatoire X, en donnant les probabilités p(X pour toutes les valeurs prises par X. (la somme de ces probabilités est égale à 1) L'espérance mathématique de X (ou moyenne) est le

VARIABLES ALEATOIRES TABLE DES MATIÈRES 1. Loi de probabilité 2 1.1. Exemple 2 1.1.1. Calcul de probabilités sur un univers W 2 1.1.2. Variable aléatoire à valeurs réelles. 2 1.1.3. Probabilité image définie par une variable aléatoire 2 1.1.4. Loi de probabilité ou distribution d’une variable aléatoire 3 1.1.5. Fonction de répartition 3 1.2. Autres exemples 3 1.2.1. Exemple de variable aléatoire discrète 3 1.2.2. Exemple de variable aléatoire discrète, prenant une infinité de valeurs 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variables à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indépendance de deux variables aléatoires X et Y . . . . . . . . . . . . . .

Semestre Module Elément Enseignant :3 : Méthodes Quantitatives : Statistiques II : Mr HILAL Eléments du cours Axiomes du calcul des probabilités Variables aléatoires et leurs caractéristiques Lois usuelles Lois usuelles continues Exercices avec solutions Numérisation & Conception Mr Mohamed-Fadil ZIADI Le Portail des Etudiant d’Economie www.e-tahero.net contact@e-tahero.net Professeur HILAL Statistiques II TABLE DES MATIÈRES © www.e-tahero.net – Z.M.F TABLE DES

/ P(A) Indépendance : Deux évènements sont indépendant ssi P(A∩B ) = P(A)*P(B) Formule des probabilités totales : P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) Formule de Bayes : ( PA(D)*P(A) ) / ( P(D) = PA(D)*P(A) + PB(D)*P(B) + PC(D)*P(C) ) Chapitre 2 1) Variables aléatoires : Discrètes : X(Ω) fini ou fini dénombrable Continues : X(Ω) infini non dénombrable X(Ω) représente l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire X Loi de Probabilité : Si Pi = P(X=xi)

est le nombre µ défini par : µ = la variance de la loi de probabilité est le nombre V défini par : V = ∑p a i =1 n i i - ∑ p (a − µ) i i i =1 n 2 l’écart - type de la loi de probabilité est le nombre σ défini par : σ = 3. Variables aléatoires V. Exercice : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2 € pour chaque résultat « pile » et on perd 1 € pour chaque résultat « face ». 1. Quel est l’ensemble E des issues possibles ? ……… 2. Soit X l’application

Probabilités - variable aléatoire ( à valeurs réelles) : Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction ℑ mesurable: X:Ω → R X −1 (B) ∈ ℑ (B= borrélien de R) - distribution d’une variable aléatoire : µ X (B) = P(X −1 (B)) UCL Devolder 5 1. Probabilités - fonction de répartition d’une variable aléatoire : Borrélien : B = (−∞, x ] µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x ) - densité de probabilité d’une variable aléatoire : La densité f(x) d’une variable aléatoire

......................................................................15 2- Loi normale centrée réelle : .........................................................................................................15 3- Fonction de répartition d’une variable normale continue réduite :..............................................15 4- Quelques relations à retenir : .......................................................................................................16 IILoi du khi deux (Khi carré) :

stochastiques particuliers : ................................................................... 3 I-1-2-1 Processus stationnaire : ................................................................................... 3 I-1-2-2 Processus à accroissement indépendant :........................................................... 3 I-1-2-3 Processus à accroissement stationnaire : ............................................................ 3 I-1-2-4 Moments :...……………………………………………………………….4 I-2 Processus de diffusion