Droit réel

des nombres irrationnels est appelé l’ensemble des nombres réels et est noté IR. Exemple : 2 ; π ; 3 ; -0,9 Nous avons donc IN ⊂ Z ⊂ ID ⊂ Q ⊂ IR 2 - Calculs dans IR 2 - 1 - Quotient Soit a ∈IR,b ∈IR* , le quotient de a par b est l’unique nombre réel x tel que : b x = a On le note a b Propriétés ∀ a, b, c, d ∈ IR, tels que b ≠ 0 et d ≠ 0. P1) a + c = ad + bc P2) a x c = ac P3) a = c ⇔ ad = bc b d bd b d b d bd a P4) Si c ≠ 0 , b ≠ 0 alors 1 = d et b = a x d = ad c c c b c bc d d 2 Exemple

l désigne un réel. 1)2)3) Les asymptotes : * Quand limx→ +∞fx=l (respectivement en -∞), on dit que la droite d’équation y = l est une asymptote horizontale à Cf en +∞ (respt -∞). * Quand limx→ +∞fx- ax+b=0 (respt -∞), on dit que la droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à Cf en +∞ (respt -∞). II/ Limites en un réel a - Continuité d’une fonction : Soit a un nombre réel et f une fonction

→ Développer → (a + b) ² = a² + 2ab + b² (a – b) ² = a² – 2ab + b² (a – b)(a + b) = a² – b² ← Factoriser ← d. Polynôme du second degré On appelle polynôme du second degré toute expression de la forme ax2 + bx + c avec a, b et c sont des nombres réelles, et a ≠ 0. Exemples : 5 3 x + sont des polynôme du second degré. 2 7 Le polynôme A(x) peut s’écrire sous plusieurs formes : - Forme développée : A(x) = x² + 8x – 9 - Forme factorisée : A(x) = (x – 1)(x + 9) - Forme canonique : A(x) = (x + 4)² – 25

(a, b) = (0, 0). Le sous-ensemble de R2 donné par : ∆ = {(x, y )/ax + by + c = 0} définit une droite, dite droite d’équation ax + by + c = 0. Cas particulier : Si b = 0 : l’équation d’une droite peut être écrite sous la forme réduite : y = − ba x − bc . Si b = 0 : l’équation de la droite est donnée par : ax + c = 0 ( droite verticale) Si a = 0 : l’équation de la droite est donnée par : by + c = 0 ( droite horizontale ) Pr. Otheman Nouisser ENCG- Kénitra, 2014 Définition L’équation d’un demi-plan

calculatrice, N. Caledonie 2005 38 1. 1. Vrai-Faux Fesic 2002, exercice 1 Soit f la fonction définie par f ( x) = x 1 − , D son ensemble de définition et C sa courbe représentative. 2 ln( x ) a. On a D = ]0, +∞[. b. La courbe C admet une droite asymptote en +∞. c. Pour tout x ∈ D, on a : f ( x) < x . 2 d. Pour tout x ∈ D, on a : f '( x) = 1 2 + . 2 x(ln x)2 Correction a. Faux : On doit avoir x ≠ 1 et x>0 donc D= ]0, 1[∪]1, + ∞[ . b. Vrai : lim f ( x) = +∞ − 1

2 sont des nombres complexes. Définition : L’écriture z = x + iy avec x et y réels est appelée forme algébrique du nombre complexe z. x est la partie réelle de z, notée Re(z), y est la partie imaginaire de z notée Im(z). Remarque : Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy ( x et y réels). • Si y = 0, le nombre complexe est réel. • Si x = 0, le nombre complexe est dit imaginaire pur. Théorème 2 (Critère d’égalité dans C). Soit x, y, x et y des nombres réels, • x + iy = x + iy équivaut

un nombre complexe sous forme algébrique, on développe en utilisant les propriétés de l’addition et de la multiplication dans C . Et, s’il y a un dénominateur, on le multiplie par son conjugué pour le rendre réel. Attention : x + i y n’est la forme algébrique que si x et y sont réels. Applications Ex. 1 : Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z = [pic] . Ex. 2 : Soit f l’application de C – {-1} dans C définie par f(z) = [pic]

2)20 ei 12 = 210 ei 6 = 210 ei 3 = 29 (1 − i 3). Exercice 4 - - L1/Math Sup -√ On commence par écrire 1 + i 3 sous forme trigonométrique : √ 1 + i 3 = 2eiπ/3 . En prenant la puissance n-ième, on trouve √ (1 + i 3)n = 2n einπ/3 . Ceci est un réel positif si et seulement si sin(nπ/3) = 0 et cos(nπ/3) ≥ 0. Or, sin(nπ/3) = 0 si et seulement si n = 3k, k ∈ Z. Mais, pour ces valeurs de n, on a cos(nπ/3) = cos(kπ), et ceci est positif si et seulement si k est pair. Ainsi, les entiers qui conviennent

+∞. (On pourra écrire, pour x différent de 0 : f (x) = 1 x × x2 ex2 ). b. Démontrer que f admet un maximum en p2 2 et calculer cemaximum. 2. Soit a un nombre réel positif ou nul. Exprimer en unités d’aire et en fonction de a, l’aire F(a) de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = 0 et x = a. Quelle est la limite de F(a) quand a tend vers +∞? Partie B On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par

.....................................................................9 b) Calculs des coordonnées.......................................................................................................10 c) Multiplication d'un vecteur par un nombre réel....................................................................10 d) Milieu d'un segment..............................................................................................................12 IV – Vecteurs colinéaires.................