Admète

d´rivabilit´, le calcul de d´riv´es et l’´tude des variations d’une fonction. e e e e e 2.1 2.1.1 Notion d’asymptote D´finitions e Soient I ⊂ R , une fonction f : I → R, et Cf sa courbe repr´sentative dans un rep`re orthogonal. e e e • Cf admet une branche infinie si l’une au moins des coordonn´es de l’un de ses points peut devenir, en valeur absolue, arbitrairement grande. • Dans un rep`re (O, ı, ), soit M (x, f (x)); si la droite (OM ) a une position limite (Od) e quand M s’´loigne

f ∈ F (I, R) et l ∈ R 1. Cas où a ∈ R : on dit que f admet l pour limite en a si et seulement si : ∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I\{a}, |x − a| α ⇒ |f (x) − l| ε Exemple 1. On prend f : R→R . Montrer que lim f (x) = 2 x → 2x3 x→1 2. Cas où a = +∞ : on dit que f admet l pour limite en +∞ si et seulement si : ∀ε > 0, ∃A ∈ R, ∀x ∈ I, x A ⇒ |f (x) − l| ε 1 JA-JMB-ML 1A 2010-2011 3. Cas où a = −∞ : on dit que f admet l pour limite en −∞ si et seulement si : ∀ε > 0,

être soigneusement justifiée selon le cours. ____________________________________________________________ ______________________ 1. Soit A. B. C. D. la fonction carré définie sur ℝ par -2 admet 4 comme unique antécédent. 4 admet – 2 comme unique antécédent. -2 admet 4 comme antécédent. 4 admet – 2 comme antécédent. et Cf sa courbe représentative dans un 2. Soit la fonction définie sur ℝ par repère. A. Cf passe par l’origine du repère. B. Le point A(-4 ; -8) appartient à Cf. C. Le point

équations de . Ainsi, résoudre ce système revient à montrer qu’il n’a pas de solution, ou alors en exhiber une résolution. Le système est dit :  incompatible ou encore impossible s’il n’admet aucune solution,  compatible s’il admet au moins une solution. Dans le cas où il admet une infinité de solutions, le système est dit indéterminé. L’ensemble solution « » du système , s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de , Le système est toujours compatible, en effet, le -uplet est solution

nombre de solutions dans l’intervalle [0; +∞[ de l’équation f (x) = k. 1 2) n étant un entier naturel non nul, déterminer les valeurs de n pour lesquelles l’équation f (x) = n admet deux solutions distinctes. B - Définition et étude de deux suites 1) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l’équation f (x) = 1 admet deux solutions n 0 1 1 +∞ 1 2 un et vn respectivement comprises dans les intervalles [0; 1] et [1; +∞[. 2) Sur la feuille en annexe, construire sur l’axe des abscisses

Définition 3.1 On dit que f : D ⊂ R → R admet un développement limité à l’ordre n - en abrégé un DLn - en 0 si : f (x) = P (x) + o (x n ), où P est un polynôme de degré au plus égal à n. Proposition 3.1 (Unicité du DL) Si f : D ⊂ R → R admet un DLn en 0, il est unique. Si il existe, l’unique polynôme P tel que : f (x) = P (x) + o (x n ) est appelé « partie régulière » du DLn de f en 0. Corollaire 3.0.1 Si f : D ⊂ R → R est paire (resp. impaire) au voisinage de 0, et admet un DLn en 0, de partie régulière

droites (d) et (d′) sont orthogonales en- tre elles. 2. Les droites (d) et (d′) sont-elles sécantes? Si oui, préciser le point d'intersection. Correction 4 1. D'après les représentations paramétriques : La droite (d) admet pour vecteur directeur : −→ u ( 2 ; 3 ;−1 ) La drotie (d′) admet pour vecteur directeur : −→ v ( 2 ;−2 ;−2 ) Le produit scalaire des vecteurs −→ u et −→ v a pour valeur : −→ u · −→ v = 2×2 + 3×(−2) + (−1)×(−2) = 4− 6 + 2 = 0 On en déduit que les deux vecteurs −→ u et −→ v sont orthogo-

   n’est pas un polynôme  | |  1 car  2                   2 5 4     1 5 4 10 2   2 3 3 1 5 4   III – Egalité de deux fonctions polynôme  1 – Degré d’un polynôme    Définition  On admet que tout polynôme non nul P a une écriture unique de la forme  0  avec    L’entier n est appelé le degré du polynôme P, On écrit d°(P)=n  On convient que le polynôme nul n’a pas de degré  Le degré d’un polynôme constant est égal à zéro 

comme précédemment. Alors sa courbe représentative est une parabole qui a l’allure suivante : Si a > 0 : la parabole admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. La parabole est tournée vers le haut. Le sommet S de la parabole a pour abscisse. admet un minimum en et il vaut Ainsi, les coordonnées du sommet sont S Si a < 0 : La parabole est tournée vers le bas. admet un maximum en et il vaut . On a encore S(. II. Différentes formes d’une fonction polynôme de degré 2. Proposition :

usuels Annexe : Energie potentielle et stabilité d'un équilibre. I : Généralités 1– Définition f admet un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1x + ... + anxn + o(xn) f admet un développement limité au voisinage de x0 à l'ordre n si f est de la forme : f(x) = a0 + a1(x–x0) + ... + an(x–x0)n + o((x–x0)n) On retrouve la forme précédente en posant h = x–x0. f admet un développement limité au voisinage de ∞ à l'ordre n si f est de la forme : an 1 a f(x) = a0