Anneau euclidien

de lancer s’arrête-t-on ? 2. Écriture des entiers Nous allons faire un peu d’arithmétique : le quotient de la division euclidienne //, le reste % (modulo) et nous verrons l’écriture des entiers en base 10 et en base 2. Nous utiliserons aussi la notion de listes et le module math. 6 2.1. Division euclidienne et reste, calcul avec les modulo La division euclidienne de a par b, avec a ∈ Z et b ∈ Z∗ s’écrit : a = bq + r et 0 r precision) : # boucle tant que la precision pas atteinte

égal à 3 (ou à un multiple) Alors il est divisible par 3 (ou à un multiple) Division euclidienne a et b désignent deux nombres entiers positifs avec b = 0 Effectuer la division euclidienne de a par b signifie déterminer deux nombres entiers positifs q et r qui vérifient a = b X q + r a b q q s’appelle le quotient de la division euclidienne r s’appelle le reste de la division euclidienne r Diviseurs et multiples a et b désignent deux nombres entiers positifs, avec b

Bulletin officiel n° 3 du 19 janvier 2012 Annexe 3 Éléments de définition de la progression retenue 1 - Maîtrise de la langue française Connaissances Le vocabulaire L’enfant devra connaître : - un vocabulaire juste et précis pour désigner des objets réels, des sensations, des émotions, des opérations de l’esprit, des abstractions - le sens propre et le sens figuré d’une expression - le niveau de langue auquel un mot donné appartient - des mots de signification voisine ou contraire -

multiple de d). d) La division euclidienne de a par b se traduit par a  bq  r où q et r sont des entiers naturels tels que 0  r  b . e) a  b (mod m) signifie que a et b ont le même reste dans la division euclidienne par m. f) Si a  b (mod m) , alors pour tout entier naturel non nul n, an  bn (mod m) . 34. Vrai ou faux a) Vrai. La division euclidienne de n par 3 s’écrit n  3 k  r avec 0  r  3 . Donc r=0 ou r=1 ou r=2. b) Faux. Dans une division euclidienne, le reste est toujours un

TRAVAIL SUR LES SAVANTS GRECS 3267075247015 ERATOSTHENE : Né en l’an 276 avant J-C à Cyrène, une petite ville située aujourd’hui en Lybie il a passé sa jeunesse à Athènes; il est déjà reconnu pour ses nombreuses compétences, astronome, mathématicien, philosophe, poète, géographe. Méthode de calcul de la circonférence de la

permet de déterminer le PGCD de deux entiers par divisions euclidiennes successives. Etape 1Poser la division euclidienne du plus grand des deux entiers par le plus petit On pose la division euclidienne du plus grand des deux entiers par le plus petit. Etape 2Poser les divisions euclidiennes successives des diviseurs par les restes Si le reste de la précédente division euclidienne n'est pas nul, on pose une nouvelle division euclidienne : celle du diviseur par le reste de la précédente division

Traitement : Tant que K \leq 4 : Affecter à U le chiffre des unités de P ; Affecter à K la valeur K + 1 ; Affecter à S la valeur S + K × U ; Affecter à P la valeur \frac{\text{P - U}}{10} ; Affecter à R le reste dans la division euclidienne de S par 7 ; Affecter à C la valeur 7 - R. Sortie " la clé " : Afficher C. a) Faire fonctionner l'algorithme avec N = 2282 et vérifier que la clé qui lui correspond est 3. On prendra soin de faire apparaître les différentes étapes du déroulement

de P(X − a nn−1 ) est nul. 4 2. Arithmétique des polynômes Il existe de grandes similarités entre l’arithmétique dans Z et l’arithmétique dans K[X ]. Cela nous permet d’aller assez vite et d’omettre certaines preuves. 2.1. Division euclidienne Définition 3 Soient A, B ∈ K[X ], on dit que B divise A s’il existe Q ∈ K[X ] tel que A = BQ. On note alors B| A. On dit aussi que A est multiple de B ou que A est divisible par B. Outre les propriétés évidentes comme A | A, 1| A et A |0 nous

q par la m´ethode de Gauss. Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F

alors λf aussi, obtenu en multipliant le DLn de f par λ. Produit Soient f et g deux applications admettant en 0 des DLn, de parties régulières respectives P et Q. Alors fg admet en 0 un DLn, dont la partie régulière est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1. [afficher] Démonstration Inverse Si u(x0) = 0 et si u admet un DLn en x0, alors 11−u admet un DLn. Ce développement limité se trouve en cherchant un DLn de ∑nk=0uk. Quotient On peut combiner le produit et l'inverse, ou faire