Anneau euclidien

Durée de l’épreuve : 2 heures. SUJET A DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Janvier 2010 Le sujet comporte quatre exercices. Les calculatrices sont autorisées. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice n°1 : Thèmes abordés : fonctions : problème, Pythagore, lectures graphiques, calcul algébrique : Partie A : Etude d’une situation géométrique Sur la figure ci-contre : les droites (AB) et

ajoutant 7. b) Remarque : la condition : « SI (N==2*floor(N/2)) ALORS » peut être remplacée par « SI (N%2==0) ALORS ». Les deux conditions sont remplies dès que N est pair (floor renvoie la partie entière, et x%y donne le reste de la division euclidienne de x par y). 33 a) Pour autoriser au plus 6 coups, il suffit de remplacer c<=5 par c<=6 dans la ligne TANT_QUE… b) On remplace les deuxième et troisième lignes de l’algorithme par : N PREND_LA_VALEUR floor(10*random())+1 TANT_QUE (a!=N et c<=3)

Correction exercice 19 Exercice 20. Déterminer le reste de la division euclidienne de (? + 1)? par ? 2 + 1. Allez à : Correction exercice 20 Exercice 21. Quel est le reste de la division euclidienne de ? = ? ? + ? + 1 par ? = (? − 1)2 ? Allez à : Correction exercice 21 Exercice 22. Quelle est le reste de la division euclidienne de ? ? par (? − 1)2 Allez à : Correction exercice 22 Exercice 23. Soit ? ∈ ℝ[?] le reste de la division euclidienne de (? + 1)? par (? − 1)2 . Déterminer ?. Allez à : Correction exercice

D C I J A B m 1. Étudier un barycentre Soit C le barycentre du système { ( A ; m ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) }. D’après l’associativité du barycentre, C est aussi le barycentre du système { ( A ; m ) ; ( I ; 2 ) } car I est le milieu du segment [ BD ] . On a donc l’égalité suivante mCA + 2CI = 0 . Or I est le milieu du segment [ CA ] , d’où mCA = 2mCI et ainsi 2mCI + 2CI = 0 . www.annabac.com © H A T I E R 2009 on a donc ( 2m + 2 ) CI = 0 d’où 2m = – 2 m = – 1 car CI ≠ 0

et le reste de P par X − 1. e b) D´terminer a et b de fa¸on que A = aX n+1 + bX n + 1 soit divisible par (X − 1)2 . e c c) Soient λ et µ les restes des divisions euclidiennes de A par X − a et X − b. Calculer le reste de la division euclidienne de A par (X − a)(X − b) en fonction de λ et µ. d) Trouver le reste de la division euclidienne de P (X) = (X sin(α) + cos(α))n par X 2 + 1. Factorisation Exercice 26. Factoriser le polynˆme : o n k=0 n sin(kθ)X k k Exercice 27. Trouver les racines

a) Dresser un arbre de probabilité b) Calculer la probabilité pour que l’automobiliste rencontre i) Deux feux verts. ii) Au moins un feu vert. Ex 2 : (candidat de spécialité Maths) c) Quel est le reste dans la division euclidienne de 2341 par 7 ? d) i) Ecrire l’algorithme d’Euclide pour déterminer PGCD(145 ;55) ii) Déterminer un couple (u,v) d’entiers relatifs tels que 145u+55v= PGCD(145 ;55) |BAC Série S - Oraux

Initiation à Géoplan – Géospace Extraits du Dossier TIC et mathématiques au lycée Réalisé par François CATRIN Robert DELAVEAU CEPEC 14 Voie Romaine 69290 Craponne 1 - Initiation à un géométriseur : Géoplan-Géospace - Le plan Les géométriseurs ou logiciels de simulations géométriques ou encore logiciels de géométrie dynamique permettent de créer des figures interactives, c’est-à-dire des figures du plan ou de l’espace dans lesquelles les éléments « initiaux » (ceux qui sont donnés)

Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs − → − → Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. A C B D 2 Relation de Chasles − − → → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − − → → − → − − → → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − − → → − → − → − → − → − → − → − − − → → → − AC + 2CB − AB =

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

Chapitre 8 Géométrie plane et problèmes O et D sont à l’ordonnée 0. C et F ont pour ordonnée – 3. d) Deux couples vérifient l’énoncé : C(– 3 ; – 3), A(3 ; 3) et F(0 ; – 3), G(0 ; 3). a) – 265 – (– 325) = 60. Il est mort à 60 ans. b) Somme : 35 + (– 42) = – 7 ; Différence : 35 – (– 42) = 77 ; 35 + (– 42) – 7 Moyenne : = = – 3,5. 2 2 –1 a) 3x + 1 = 0, soit 3x = – 1, et x = . 3 1 La solution de cette équation est – . 3 b) 3x + 1 = 5x – 7 3x + 1 + 7 = 5x 3x + 8 = 5x 8 = 5x – 3x 8 = 2x 8 x = =