Anneau euclidien

représentations. Je vous donne rapidement mes deux principales références au sujet du triangle. La première est constituée sur une longue période, celle de la découverte de la magie du théorème dit de Pythagore, et tous les triangles de la géométrie euclidienne, la seule à se donner percevoir et être vécue par l’homme (je m’avance par rapport à mes frères matheux compétents). Cette vision magiquement solide (en ses propriétés : le nombre de constituants limités mais stable, la polyvalence, etc.) et le

P2 , P3 ) est une base de K2 [X]. Exercice 22 [ 02146 ] Exercice 15 Soit A, B, C ∈ K [X] tels que A et B soient premiers entre eux. Montrer : pgcd(A, BC) = pgcd(A, C). [ 02139 ] Exercice 23 Division euclidienne Exercice 16 En réalisant une division euclidienne, former une condition nécessaire et susante sur (λ, µ) ∈ K 2 pour que X 2 + 2 divise X 4 + X 3 + λX 2 + µX + 2. [ 02140 ] Pour k ∈ {0, . . . , n}, on pose Pk = (X + 1)k+1 − X k+1 . Montrer que la famille (P0 , . .

Universit´ Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires

-1, 1, 2, 3, 4, 6, 12} 2 Division euclidienne Théorème Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul, il existe un unique couple (q, r) d'entiers vérifiant : a = b⋅q + r et 0 ≤ r < |b| Définition L'opération qui à (a, b) associe (q, r) est la division euclidienne de a par b. • q est le quotient • r est le reste Remarques a) Le reste r est toujours positif et < |b|. b) 18 = 3⋅2 + 12 ne veut pas dire que 12 est le reste de la division euclidienne de 18 par 3 ! 1 Arithmétique

Fiche résumé : VECTEURS , COORDONNEES 2nd 1) Définitions: Vecteur : défini par une direction, un sens, et une distance. F B D [pic] Tous les couples de points (A,B) ; (C,D) et (E,F) représentent le même vecteur. E A = Origine du vecteur [pic] ; B = extrémité du vecteur [pic] . A C Rq : [pic] = vecteur nul ; distance AB = [pic] norme du vecteur [pic] 2) Egalité vectorielle : On dit que deux vecteurs sont égaux

polynˆme E et des complexes λi,j (1≤i≤k et 1≤j≤αi ) tels que : o k F =E+ i=1 λi,2 λi,αi λi,1 + + ··· + 2 X − xi (X − xi ) (X − xi )αi k αi =E+ i=1 j=1 λi,j · (X − xi )j u Preuve : L’existence de E s’obtient par division euclidienne de P par Q, o` F = P , Q et l’unicit´ vient facilement avec des consid´rations de degr´. Au passage, on note que si e e e e E = 0, son degr´ est celui de F . Pour le reste, on peut raisonner par r´currence sur le nombre de pˆles et, pour un pˆle

th´or`me. e e e Remarque 1. Voir TP 6, Section 3 (novembre 2009) du cours if1. 1.1.1 En langage courant Remarque 2. Pour calculer le pgcd de deux entiers strictement positifs a et b, on suppose toujours a ≥ b > 0. On effectue la division euclidienne de a par b, c’est-`-dire la d´termination de deux entiers a e positifs q (le quotient) et r (le reste) qui satisfont 0 ≤ r < b et a = b × q + r (ces deux entiers sont bien d´termin´s de mani`re unique). On a e e e q = a/b r = a mod b . – Si r =

métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.), des surfaces apparaissent naturellement en tant que graphes de fonctions de deux variables, ou sous forme paramétrique, comme ensembles décrits par une famille de courbes de l'espace. Les surfaces ont été étudiées à partir de divers points de vue : de façon extrinsèque, en s'intéressant à leur plongement dans l'espace euclidien, et de façon intrinsèque, en ne se préoccupant que des propriétés

Séquence d'enseignement en mathématiques Sujet 19 Domaine: Géométrie plane Connaissance ou compétence visée: connaître et utiliser la formule appropriée pour calculer l'aire d'un triangle. Niveau: CM2 - Cycle 3 Premier temps: présentation de l'exposé (2 minutes) Le sujet que je vais présenter ci-après traite de la compétence: "connaître et utiliser la formule appropriée pour calculer l'aire d'un triangle". Elle sera abordée en fin d'année de CM2. En effet, avant les programmes de 2008, c'était un

Points doubles On appelle « point double » un point de l’arc γ tel que : ∃ ( t1 , t2 ) ∈ Dγu ( ) 2 / t1 ≠ t2 et M ( t1 ) = M ( t2 ) Arcs paramétrés en coordonnées polaires Rappels sur les coordonnées polaires Soit E un espace euclidien orienté rapporté à un repère orthonormé direct ( O, i , j ) . On dit que ( r ,θ ) est un couple de coordonnées polaires d’un point M ( x, y ) si : x = r cos θ et y = r sin θ Si on appelle alors uθ le vecteur ( cos θ ) i + ( sin θ ) j , on a :