Anneau euclidien

Division euclidienne Exercice 1716 1. Déterminer la division euclidienne de 1038 par 17. 2. En étudiant le carré (61×17 + 1)2 , déterminer le reste de la division euclidienne de 10382 par 17. 3. En déduire une conjecture sur, pour tout entier naturel n, la division euclidienne de 1038n par 17. C - Congruence Exercice 27 1. a. Trouver les plus petits entiers naturels a, b, c vérifiant : 100 ≡ a (mod. 4) ; 27 ≡ b (mod. 4) 2. 95 ≡ c (mod. 4) b. En déduire le reste de la division euclidienne 27×100

Géométrie dans l'espace en seconde David Nivaud [pic] • Généralités • Axiomes d'incidence • Positions relatives de droites et plans • Parallélisme dans l'espace o Définitions o Parallélisme entre droites o Parallélisme entre plans o Parallélisme entre droite et plan • Orthogonalité dans l'espace o Définitions o Orthogonalité d'une droite et d'un plan o Orthogonalité de deux droites de l'espace

C´dric (par exemple, le a a e 10), message qui ne doit pas ˆtre intercept´ par ledit C´dric, bien sˆr. e e e u 7 = 187 × 53475 + 175, et envoyer le r´sultat 175 Bernard va donc calculer 10 e a ` Alice. Alice va calculer le reste de la division euclidienne de 17523 par 187 : – Elle calcule d’abord 1752 = 30625 = 163×187+144, donc 1752 ≡ 144[187]. – Ensuite, 1442 = 20736 = 110 × 187 + 166, donc 1754 ≡ 166[187]. – Puis, 1662 = 27556 = 147 × 187 + 67 donc 1758 ≡ 67[187]. – Et 672 = 4489 = 24 × 187 +

CHAPITRE 9 Produit scalaire ACTIVITÉ (page 215) donc δ = 2AB × BH = 2AB × BC × cos θ. Activité 1 S = AC2 – AB2 – BC2 = CH2 + AH2 – AB2 – (CH2 – BH2) = AH2 – AB2 – BH2. 2 • Figure 1 : AH2 = AB2 + BH2 + 2AB × BH ; • Figure 2 : δ = (AB – BH)2 – AB2 – BH2 = – 2AB × BH. Or, dans le triangle rectangle CHB, BH = BC cos (π – θ) = – B cos θ. Donc : δ = 2AB × BC × cos θ. • Figure 3 : même démonstration. PROBLÈME OUVERT Considérons le repère orthonormé ΂ A ; ai, aj ΃, dans lequel

ϕ (t) dt = f [ϕ (t)] ϕ (t) dt avec a = ϕ (α) et b = ϕ (β) α Int´gration d’une fraction rationnelle e 1. Le degr´ du num´rateur est-t-il strictement inf´rieur ` celui du d´nominateur ? e e e a e Si non, effectuer la division euclidienne du num´rateur par le d´nominateur. e e On est ramen´ alors ` la somme d’un polynˆme et d’une fraction rationnelle du type voulu. e a o 2. La fraction s’int`gre-t-elle imm´diatement ? e e u u 1 ou ou r = u .u−r si r = 1 C’est le cas

Quaternions Application aux rotations dans l’espace par Jean-Claude RADIX Ingénieur civil des Télécommunications Ingénieur à la Société Nationale Industrielle Aérospatiale Professeur à l’École Nationale Supérieure de l’Aéronautique et de l’Espace (ENSAE) et à l’École Nationale Supérieure des Techniques Avancées (ENSTA) 1. 2. 3. 3.1 3.2 3.3 Définition et propriétés des quaternions .......................................... Représentation d’une rotation par un quaternion.........................

Chapitre 1 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE 3ème I. SPHERES ET BOULES 1. Définitions Soit O un point dans l’espace. On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble des points de l’espace qui sont situés à une distance R du point O. Les segments [A1B1] et [AB] sont des diamètres de la sphère. Les segments [OA], [OB] et [OA2] sont des rayons de la sphère. On appelle boule de centre O et de rayon R l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à R du point O. Remarque : la boule

\Exercice 1 Écrire un programme Pascal qui détermine puis affiche le nombre de combinaisons de p objets parmi n. n et p sont deux entiers naturels strictement positifs (avec n >= p). La solution doit comporter une fonction intitulée FACTORIEL (x) qui détermine la factorielle de x (x ! = x * (x-1) * (x-2) * …. * 3 * 2 * 1). Exercice 2 Ecrire un programme qui calcule le PPCM de deux nombres a et b Exercice 3  Écrire un programme qui permet de décomposer en facteurs premiers un entier n lu au

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

mécanique permet de simplifier l’écriture des équations relatives aux grandeurs fondamentales de la mécanique. 1. Opérations sur les vecteurs → Dans tout ce qui suit, on s’intéressera à l’ensemble E des vecteurs V de l’espace usuel. E est un espace Euclidien à trois dimensions. 2. Définition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité A ; il est défini par : son origine ; sa direction ; son sens ; son module. → −− → A O Par convention on adopte