Calculer G X Et étudir Son Signe Suivant Les Valeur

page suivante→ a CHAPITRE 9. EXERCICES DE COLLES Chapitre 9 Exercices de colles 9.1 9.1.1 1. 2. 3. 4. 5. 6. Semaine 1 Le programme R´visions sur l’int´gration d’une fonction continue par morceaux sur un segment. e e R´visions sur les suites num´riques. e e Notions de d´nombrabilit´. e e Fonctions int´grables sur un intervalle. e Th´or`mes de convergence (monotone et domin´e). e e e Continuit´ et d´rivabilit´ sous le signe . e e e Table des mati`res e Aller ` la page suivante→ a

Exercice 1 Soit f ( x ) = 3x 2 − 30 x + 83 et g ( x ) = − x 2 − 8 x − 15. a) Pour f : a = 3 ; b = –30 et c = 83. Pour g : a = –1 ; b = –8 et c = –15. b) Développons 3( x − 5)2 + 8 : 3( x − 5)2 + 8 = 3( x 2 − 2 × x × 5 + 52 ) + 8 = 3x 2 − 30 x + 75 + 8 = 3x 2 − 30 x + 83 = f (x ) On a bien f ( x ) = 3( x − 5)2 + 8 . Développons −( x + 4 )2 + 1 : −( x + 4 )2 + 1 = −( x 2 + 2 × x × 4 + 42 ) + 1 = − x 2 − 8 x − 16 + 1 = − x 2 − 8 x − 15 = g(x ) On a bien g ( x ) = −( x + 4 )2 + 1 . c) Coordonnées

On note x l’abscisse de M. Donc : M(x ; 0). x +x −1+ x x − 1 = et N est le milieu de [BM] donc : x N = B M = 2 2 2 y +y  x −1  0+0 yN = B M = = 0 . D’où : N   ; 0 . 2 2  2  Notons (0 ; b) les coordonnées de P. Le point P appartient au cercle de centre N 2 2   x − 1 x − 1 + b 2 =  −1− + 02 soit passant par B donc : NP = NB soit  0 −  2  2    2 2  x − 1 2  x + 1  − 2  + b =  − 2  . Ainsi : 2 2 2 2 2  x + 1 

dimensions de ce rectangle ? x Modélisation : Soient x et y les dimensions de ce rectangle, on a : y P x + y = = 7 et xy = S = 12 2 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax2 + bx + c où a, b et

rapporté à un repère orthonormal direct O ;  ,   d’unité graphique 1 cm. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions. 1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives z A=− 114 i , z B=− 3 −4 i et z C =54 i . 2. Calculer le module et un argument du quotient Une méthode : z A− z B −114 i −−3−4 i i8 i8 −88 i = = = =i Remarquer: –8 = 8i² 88 i 54 i−−3−4 i zC − z B 88 i π i est le nombre complexe de module 1 et d'argument 2 + 2k ; k  ℤ z A− z B iπ iπ = e

1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Correction si x > 1 [000699] Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note x encore f la fonction prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité

fonctions 2) Opération de Fonctions 3) Problèmes IV) Conclusion I) Introduction Les fonctions sont une grande partie des mathématiques en humanités, c’est-à-dire quelque chose d’important dans ses études. C’est pour cela que je me pose la question suivante : A quoi servent les fonctions dans la vie et quelle est leur utilité ? Mon objectif est de décortiqué le cours de cette année et de l’analyser point par point pour voir ce que je peux retenir de leur utilité et de leur application dans la vie.

Fonctions dérivables 1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité des fonctions

fonction exponentielle Vrai / Faux Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie. a) La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 0 et de raison 1. b) La fonction définie sur ]0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e x est à valeurs dans »+ et transforme une somme en un produit. c) L’équation exp( x ) = 0 admet une unique solution strictement positive. d) La

d’étiquettes code à barres. Identifiez votre copie à l’aide de l’étiquette correspondant à la matière et au numéro de devoir. Important ▶ La saisie informatisée des devoirs ne permet aucune erreur de code. ▶ Veuillez réaliser ce devoir après avoir étudié la séquence 1. Exercice 1 (6 points) On donne ci-dessous la courbe Ꮿf représentative d’une fonction f. 3 Ꮿf 2,5 2 1,5 1 0,5 0 -3,5 -3 -2,5 1 -2 -1,5 -1 -0,5 -0,5 0,5 1 1,5 2 -1 ᕡ A l’aide du graphique préciser : a) l’ensemble de définition