Charles Fourier

points) A) Transformée de Fourier 1) Soit �� une fonction de ℝ dans ℝ dont la transformée de Fourier existe. Énoncer et démontrer la formule du retard, c’est-à-dire la transformée de Fourier de la fonction �� ⟼ ��(�� − ��) en fonction de la transformée de �� (�� est un paramètre réel) 2) Soit �� une fonction de ℝ dans ℝ. On suppose que �� est dérivable et que les transformées de Fourier de �� et ��′ existent. Énoncer et démontrer la formule liant la transformée de Fourier de ��′ à celle de ��. B)

formule de Wallis ,f,, : PS+ Il3 de .f,(t) =cos(a Pour a réel et non entier, on définit l’application ‘JtE [-7cJ]. période 271 par : t). COS t Pour t réel tel que sin t # 0, on pose cotant = ~ sint 6. Développer y” f, en série de Fourier et en déduire que cotan (CXTT) & + 2 = II=I T-C(U- - FZ’) 7. Soit xE]O,7c[, on définit la fonction g sur [O, x] par : g(t) =cotan t - f si t E ] 0, x] et g(0) = 0. .I I 0 s(t) dt. a. Montrer que la fonction g est continue sur [O

Etienne % Transformée de Fourier f=-(Fe/2):1:(Fe/2); for k = 1:length(f) Z(k)= sum(z.* exp(-2*j*pi*f(k)*t)); end plot(f,abs(Z)); pause % Passe bande [B,A]= butter(8,[f1*2/Fe-0.02,f1*2/Fe+0.02]); z1=filter(B,A,z); z1=z1.*(z1>0); % redressage [B,A]= butter(8,[f2*2/Fe-0.02,f2*2/Fe+0.02]); z2=filter(B,A,z); z2=z2.*(z2>0); % redressage % Passe bas [B,A]= butter(8,0.02); zb1=filter(B,A,z1); [B,A]= butter(8,0.02); zb2=filter(B,A,z2); % Transformée de Fourier des signaux filtrés f=-(Fe/2):1:(Fe/2);

transformée de FOURIER d’une image. - Figure 6 Epandage selon l'ensemble des directions Transformée de FOURIER d’une image La transformée de FOURIER F(ν) d’une fonction spatiale f(x) ou temporelle f(t) est une transformation mathématique qui décompose toute fonction en une somme infinie de fonctions sinusoïdale selon : Une transformée de FOURIER bidimentionnelle dépend de deux fréquences spatiales νx et νy. On peut représenter sous forme d’une image le module de la transformée de FOURIER bidimentionnelle

base : sinusoïdes, dirac, rectangle, sinus cardinal,… Notions sur le bruit. Les systèmes. Représentation des systèmes. Propriétés des systèmes. Equation de convolution. Transformée de Fourier. Définition, propriétés. Transformée de Fourier des signaux discrets. Transformée de Fourier discrète. Transformée de Fourier rapide (FFT). Représentation temps -fréquence. Echantillonnage et recouvrement spectral. Conversion analogique-numérique. Théorème d'échantillonnage. Conversion numérique-analogique. Notions

LPI 99/2000 examcor.tex 1/ 7 Éléments de corrigé Exercice 1 1. est définie sur Ê, paire et périodique, de période Ì obtient la courbe : ; de plus ´Øµ ¾ Ø si Ø ¾ ¼ ¾ On 2. Calculons les coefficients de Fourier Ò et Ò de la fonction – calcul de Ò : puisque – calcul de ¼ : est paire, on sait que Ò ¾ ¼; ; on a Ì , ¾ donc ¾. ¼ ½ ¾ – calcul de Ò pour Ò ¾ Æ £ : Ò ¾  ¾ ´Øµ Ø ¾ ¼ ¾ ´Øµ Ø ¾ ¾ ¼ ¾ Ø Ø ¾ ¢¾

de x=1 et f=3KHz pour le calcul de x=3. Les valeurs de gain trouvées respect le gabarit proposé comme souhaité. D’après la figure 5, le signal d’horloge est paire : f(t)=f(-t) On rappelle l’équation générale pour une décomposition en série de Fourier : ft=a0+n=1∞ancos(nwt)+bnsin(nwt) Comme la fonction est paire, alors l’ensemble des bn sont nuls. On a ainsi les fonctions suivantes : a0=2T0T2ftdt an=4T0T2ftcos(nwt)dt Le coefficient a0 est également nul car celui-ci défini la valeur moyenne

série de Fourier Soit F de période T (pulsation   2 ). Alors, d’après le théorème de Fourier : T   n 0 n 0 (an ) nN , (bn ) nN * , t  R , F (t )   an cos(.n.t )   bn sin(.n.t ) On a : a0  F (t ) t t an  bn  2 F (t ' ) cos(.n.t ' )dt' T 0 2 F (t ' ) sin(.n.t ' )dt' T 0  t Notation compacte : F (t )   C n cos(.n.t   n ) ( a0  C0 cos 0 ) n 0 Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple

donc procéder à un décalage en fréquence du signal visualisé sous Matlab par la fonction fftshift, et une transposition des axes fréquentiels. Fig3 : représentation du spectre d’amplitude en domaine fréquentielle Remarque : - La transformée de Fourier d’une fonction sinusoïdale de fréquence f0 est représentée par deux impulsions de Dirac centrée sur les fréquences –f0 et +f0. NB . L’impulsion centrée sur f0 n’a pas d’existence physique. Fig4 : représentation fréquentielle du signal échantillonné

Séries de Fourier 1-) E désigne la fonction partie entière. Sur I on définit la fonction partie fractionnaire par: ∀x∈I R, ∈ R, F(x) = x – E(x). a-) Montrer que F est 1-périodique et tracer sa représentation graphique. b-) Ecrire le développement en série de Fourier de F. c-) Etudier la convergence de la série de Fourier de F. 1 π2 d-) Montrer que: ∑ 2 = . n 6 n≥1 –––––––––––––––– a-) On sait que: ∀x∈IR, E(x + 1) = E(x) + 1. Par suite, ∀x∈IR, F(x+ 1) = x + 1 – E(x + 1) = x + 1 – E(x) – 1 = x – E(x)