Contrat Aléatoire

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle Théorème de Bayes 4 • Variables aléatoires réelles 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 Généralités sur les variables aléatoires Fonction de répartition Densité de probabilité Discontinuités d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition

dit probabiliste ou aléatoire La mise en œuvre de cette méthode implique de disposer d’une base de sondage : Liste exhaustive des personnes faisant partie de la population de base Ex : Tirage au sort de 30 étudiants parmi la liste des présents en amphi. Toute méthode probabiliste repose sur la création d’un échantillon par tirage au sort Tous les éléments de la base doivent avoir la même probabilité d’être tirés au sort C’est une méthode fondée sur le hasard Les méthodes aléatoires de tirage au sort

faces blanches b) deux faces noires c) deux faces de couleur différente. Partie B :Le joueur gagne 5 euros s'il obtient une face noire et perd un euro s'il obtient une face blanche . Il lance toujours deux fois le dé. On considère X la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenue 1) Déterminer la loi de probabilité de X 2) Quel est le gain moyen de ce jeu? Exercice 6: QCM sur 5 points Donne sans justification la bonne réponse. Une seule par question. Sur la copie, on indiquera le numéro

LOI BINOMIALES ET APPLICATIONS I) EPREUVE ET SCHEMA DE BERNOULLI 1) Epreuve de Bernoulli DEFINITION : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelé succès ( ? ), l’autre échec ( ?̅ ). EXEMPLES : • On lance une pièce de monnaie équilibrée ou non. On appelle par exemple succès, l’issue « pile » et échec l’issue « face ». • On lance un dé. On peut décider d’appeler succès la sortie du 6 et échec la sortie de 1, 2, 3, 4 ou 5. 2) Loi de Bernoulli

OMAR AJDIR  AJERROUD SOUKAINA Généralités et définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est: Représentation graphique Caractéristiques et propriétés:  Notation N(μ;σ²)  Courbe symétrique autour de μ et a 2 points D’inflexion aux abscisses μ-σ et μ+σ  E(X) = μ  V(X) = σ² La loi normale centrée réduite  Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N (0 ; 1) si sa fonction de densité est la fonction

réguliers [pic] [pic] - Echantillon en coupe instantanée ou coupes transversales : les variables représentent des phénomènes observés au même instant sur plusieurs individus (au sens statistique) [pic] [pic] c) Introduction d’un terme aléatoire La relation précédente suppose que le nuage des couples (C,R) s’aligne parfaitement sur une droite de pente a et d’ordonnée à l’origine égale à [pic]. Or en pratique, cette forme parfaitement linéaire n’est pas observée ; la consommation s’écarte

un nombre fini de paramètres. Divers cas de figure peuvent se présenter, comme par exemple: -On autorise toutes les distributions possibles c'est à dire on ne fait aucune hypothèse sur la forme, nature ou le type de la distribution des variables aléatoires -Le nombre de paramètres du modèle n'est pas fixé et varie (augmente) avec le nombre de variables Il s'agira de présenter pour quelques modèles et exemples simples, les idées principales de l'estimation non paramétrique par la méthode du noyau

3UREDELOLWpV Probabilités élémentaires L'univers Ω est l'ensemble des résultats possibles (éventualités) d'une expérience aléatoire. Un évènement est une partie de l'univers Ω. Un événement élémentaire est une partie de Ω, comportant un et un seul élément. ∅ est l'événement impossible A ∪ B est l'événement "A ou B" A ∩ B est l'événement "A et B" Si A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints). On note Α l'événement contraire de A. Ω est l'événement certain élémentaire {ω

Vocabulaire des probabilités Définitions : Une expérience aléatoire est un enchaînement d’actions exécutées suivant un protocole précis, reproductible à l’identique, et dont les résultats sont a priori soumis au hasard. L’univers des issues (ou des possibilités) est l’ensemble Ω de ses résultats possibles. Exemple : Jet d’une pièce équilibrée. Ω = { P; F } . Jet d’un dé à 6 faces équilibré. Ω = {1;2;3;4;5;6} . Définitions : Une expérience aléatoire d’univers Ω étant donnée, un événement est un sous-ensemble

5 INTRODUCTION .............................................................................. 7 1. MARCHE ALEATOIRE DE BERNOULLI ........................................... 9 1.1. MODELE PROBABILISTE ....................................................... 9 1.1.1. Marche aléatoire sur ℤ ...................................................................... 9 1.1.2. Marche aléatoire sur 0, ��, … , �� .................................................... 10 1.2. RESULTATS THEORIQUES ...