Coplanaire

sphère circonscrite au tétraèdre ABIJ (c’est-à-dire une sphère qui passe par les quatre points A, B, I, J). − −→ − → − → L’espace est rapporté au repère orthonormal A ; AP , AQ , AE . 1. Justifier que les quatre points A, B, I et J ne sont pas coplanaires. 2. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur (P 1 ) du segment [AB]. 3. Soit (P 2 ) le plan d’équation cartésienne 3y − z − 4 = 0. Montrer que le plan (P 2 ) est le plan médiateur du segment [IJ]. 4. a. Démontrer que les plans

l’équilibre du solide S1 Bilan des actions mécaniques extérieures Conclusions S1 est en équilibre l’action de trois forces. Fext Fc B(3→S1) C(4→S1) sous Point G1 B C Dir Sens Normes 260 N Celles-ci sont : Concourantes point I Coplanaires en un AB ? ? ? ? ? Le principe fondamental de la statique nous donne : Fc+ B(3→S1)+C(4→S1)=0 7/11 5.3.2. Résolution graphique Masse Echelle du tracé : 1 cm => 50 N G1 B(3→S1) Fc Levier 1 C(4→S1) Directio

−2) Proposition 1 :    x = 5 − 2t Une représentation paramétrique de la droite (AB) est y = −1 + t   z = −2 + t , t ∈R Proposition 2 : Les droites D et (AB) sont orthogonales. Proposition 3 : Les droites D et (AB) sont coplanaires. Proposition 4 : La droite D coupe le plan P au point E de coordonnées (8; −3; −4). Proposition 5 : Les plans P et (ABC ) sont parallèles. Liban 2 27 mai 2014 Baccalauréat S A. P. M. E. P. E XERCICE 3 5 points Soit f

t = 5 La dernière équation donne t = 5, puis la deuxième k = 3−5 =−2 et en remplaçant dans la première 2+5 =−4−3 : cette égalité est fausse, donc d1 et d2 ne sont pas sécantes. d. Les droites n’étant ni sécantes ni parallèles elles ne sont pas coplanaires. 2. a. On a −→ w · −→ u =−1−2+3 = 0; de même −→ w · −→ v =−2+2+0 = 0, donc le vecteur −→ w est orthogonal aux vecteurs −→ u et −→ v . b. Un point commun au plan P et à la droite d2 a ses coordonnées qui vérifient le système :          

4 )2 = R2. 2. a) Casio TI uuur uur uur uuur uuur uur Or d’après b), DA × BC + DB × CA + DC × AB = 0, donc uuur uur DA × BC = 0, ce qui prouve que les arêtes [BC] et [AD] sont orthogonales. 3. a) L’algorithme permet de dire si quatre points non coplanaires forment un tétraèdre uuur uur orthocentrique uur uuur ou non. La condition testée est DC × AB = 0 et DB × CA = 0. Or d’après la question 2., ceci implique que les arêtes opposées du tétraèdre sont orthogonales deux à deux. La condition testée suffit

cette barre d’outil : Si l’on prend par exemple la liaison pivot (première icône a gauche), on voit apparaître cette fenêtre : Il est nécessaire alors d’indiquer deux lignes (les deux axes de la liaison pivot) et deux plans qui resteront coplanaires (distance nulle) ou bien l’on peut imposer une distance. On peut cocher l’option « commandée en angle, ce qui permettra par la suite de jouer directement sur ce paramètre. Chaque contrainte a ses propres caractéristiques. Nous n’utiliseront pas

11 CHAPITRE Produit scalaire dans l’espace ACTIVITÉS (page 320) Activité 1 Activité 2 1 a) D, F, O et B sont des points du rectangle BDHF. Ils sont donc coplanaires. O H F 1 1 a) UAH = UBG ; donc l’angle géométrique de UAF et UBG est celui de UAF et UAH. b) Le triangle AFH est équilatéral ; donc, l’angle géomép trique vaut . 3 2 a) A(1 ; 0 ; 0), F(1 ; 1 ; 1), B(1 ; 1 ; 0) et G(0 ; 1 ; 1). Les vecteurs UAF et UBG ont pour coordonnées : B ͱස2 b) • UBO · IDF = UBO · 1 UDH + UHF 2 = UBO · IDH

L’équation proposée est bien celle du plan (BCD), ces trois points étant manifestement disjoints deux à deux. 4. Les coordonnées de A ne vérifient pas l’équation précédente. Donc A n’appartient pas au plan (BCD). Les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD) si et seulement si la distance de A à ce plan est égale au rayon du cercle, c.à.d si d(A, (BCD)) = 81 81 = 9 qui est une égalité fausse. La proposition = 9 ⇐⇒ 430 182 + 92 + 52 est

des forces est égale à zéro: A sol/1 + B sol/1 + P1 + P2 0 YA + + 0 YB + 0 + 0 + 0 = 0 - 12000 - 3000 - 6000 = 0 0 + 0 + 0 + + P3 0 + = 0 0 Σ F =0 Le solide est soumis à plus de trois forces, mais ces forces sont parallèles et coplanaires. On peut utilise la méthode analytique simple ! = 0 En développant on obtient : YA + YB = 12000 + 3000 + 6000 YA + YB = 21000 daN BILAN : on obtient 1 équation et 2 inconnues ! Le problème n’est pas résoluble. Il faut trouver une équation

reliées les unes aux autres en 3D de façon à former un cadre pour les faces qui sont à leur tour reliées à ces lignes. Les faces qui sont des formes liées à un plan ont pour caractéristique essentielle de "remplir" les espaces séparant des lignes coplanaires. Dans la pratique, ceci fonctionne comme un mouchoir infiniment souple tendu très précisément sur une trame métallique. Une fois connectées entre elles, les lignes et les faces sont programmées pour avoir en permanence “conscience” de la géométrie