Équation différentielle linéaire

mathématiques ; je leur en suis très reconnaissant. On pourra par ailleurs remarquer l’influence qu’ils ont eu sur certaines parties de ce travail. L’inspiration m’est par ailleurs venue de Sébastien Gouëzel, alors qu’il était caïman de géométrie différentielle à l’ÉNS, dont les travaux dirigés et les colles foisonnent de problèmes plaisants et enrichissants. Je me dois aussi de saluer Marc Sage et, à travers lui, toutes les personnes que je fréquentais en première année d’école, lors de la rédaction

temporels) : ˙ K = I − δK où I désigne l’investissement. Interpréter cette équation. 2. On suppose que l’investissement en t est égal à l’épargne totale en t, soit I = s.Y , où s désigne le taux d’épargne exogène. Montrer que le capital par unité de travail efficace k(t) vérifie l’équation différentielle suivante (on utilisera le fait que y(t) = [k(t)]α ) : gk = ˙ k s = 1−α − (δ + gA + gL ) k k ˙ (2) 3. En utilisant cette équation, montrer graphiquement dans le plan (k, k ) que k(t) k admet un équilibre

(associées à l'essor de l'informatique) sont l'exemple le plus typique de découpage transversal car elles dressent un clivage dans presque toutes les branches des mathématiques (groupes finis, probabilités discrètes, géométrie discrète, optimisation linéaire en nombres entiers, nouvelles branches de l'algèbre : monoïdes, dioïdes…) La théorie des nombres (qui généralise l'arithmétique élémentaire) utilise tout autant des méthodes analytiques que des méthodes algébriques avancées, pour résoudre des problèmes

l’air des autres pièces du bâtiment. Q10. Justifier que la puissance thermique apportée à la pièce par le renouvellement de l’air s’écrit : Pren = dm cP (Te/p − T ). (3) 5/16Les températures TFS (x) et TFE(x) vérifient le système d’équations différentielles suivant : dTFS dx (x) = −TFE(x) − TFS (x) λ (4) dTFE dx (x) = −TFE(x) − TFS (x) λ (5) où λ est un paramètre dépendant des caractéristiques de l’échangeur. On note Kth la conductance thermique linéique d’une plaque. Ainsi, Kth dx correspond, pour

l’énergie potentielle s’écrit : Avec : Dans l’approximation des petits déplacements par rapport à la position d’équilibre, on peut négliger les termes d’ordre supérieur à 2. Dans ces conditions : C’est une force de rappel (qui ramène le point en x0) linéaire.  0 p dE dx F k x x     0 2 2 0 x x pd E k dx                        0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 2 1 t.o.s. 2 1 t.o.s. 2 p p p p p x x x x p p x x dE d E dx dx d E dx E x E x x x x x E x E x x x          

étant nécessaire, elle implique que popt est solution de cette équation. Avec les données numériques on peut faire l’application numérique sur matlab (script preliminaire.m en annexe) : poptT = (0.1191 ; 0.0852) 3.2 TD3 Calage de modèle, cas linéaire L’objectif est de modéliser le comportement d’un bassin versant en considérant son débit sortant et l’eau reçue des pluies. Dans le cas présent on prendra un modèle à un réservoir linéaire dont les paramètres sont le débit initial Q0 et sa conductance

x - inertie : mx .. - force externe, pesanteur,... ´ ´ bilan : equation differentielle mx + f x + kx = u normalisation : x + 2zwx + w2 x = w2 u – w pulsation propre – z amortissement plan R´ solution par transform´ e de Laplace e e ∞ x(t)e−st dt X(s) = L(x) = 0 ´ ´ proprietes : ´ ´ – linearite : L(ax + by) = aL(x) + bL(y) ´ ´ ´ ´ – transforme les equations differentielles en equations algebriques : L(x ) = sL(x) − x(0) – transforme les exponentielles en

de technicien supérieur session 2006 - groupement B Éléments de correction Exercice 1 A. Résolution d’une équation différentielle 1. L’équation caractéristique associée à (E0 ) est : r 2 − 3r − 4 = 0. Le disciminant ∆ = 9 + 16 = 25 est stictement positif. L’équation caractéristique admet alors deux racines rélles distinctes r1 = −1 et r2 = 4. Les solutions de l’équation différentielle (E0 ) sont alors les fonctions définies sur R par : y(x) = λe−x + µe4x avec λ et µ réels. 2. On a, pour

(1885-1980), qui fut directeur des laboratoires de recherches de Siemens entre 1936 et 1962. L’utilisation de lemmes de Kirchhoff pour la mise en équations d’un circuit, même simple, conduit vite à un important système d ‘équations. Nous verrons dans un chapitre ultérieur qu’il existe des méthodes plus systématiques, et plus légères, pour la mise en équations : la méthode des mailles et la méthode des nœuds, qui constituent une remise en forme des lemmes de Kirchhoff. Mais avant de les étudier, il

s’exercent sur le solide à cet instant t puis représenter ces forces. 2) Par application du théorème du centre d’inertie appelé aussi deuxième loi de Newton : a) Etablir l’équation différentielle qui régit le mouvement du solide ponctuel S b) Vérifier que x(t)=Xmcos( 0t+ ) est solution de cette équation différentielle. c) Rappeler la signification des paramètres de x(t) en donnant également leurs unités dans le système international. d) Donner l’expression numérique de x(t). Puis en déduire