Factorisation des polynômes

substitution (avant ou arrière si A est inférieure ou supérieure). 2 grandes méthodes EXACTES: ELIMINATION DE GAUSS JORDAN Simple à comprendre, mais nécessite de modifier b en même temps que A Ne donne pas directement A-1 et les vecteurs propres FACTORISATION L U Un peu plus subtile, ne modifie pas b, donc on peut utiliser la même décomposition pour tout vecteur b, donne A-1 et les vecteurs propres Gauss Jordan (pivot de Gauss) Prenons l’exemple suivant : On conserve la ligne L1, qui sert

On souhaite délimiter à l’aide de cette corde un enclos rectangulaire le long d’un mur rectiligne. Quelles dimensions faut-il donner à cet enclos pour que le pré qu’il délimite ait une aire maximale ? 70. Est-il vrai que les valeurs entières du polynôme P(x) = x 2 ! x + 41 sont toujours des nombres premiers? 71. Quel est l’ensemble des points situés à égale distance du point (0; p) et de la droite y = 0 ? 72. Une situation de recherche (in : Science et Vie Junior, Equations du second degré de

Allez à : Exercice 13 Correction exercice 14. 1. On pose ( ) ( ) ( ( ( ) )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) (( ) ) On peut utiliser la même méthode ou utiliser la formule de Taylor pour les polynômes de degré ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) (( ) ) 2. ( ( ) ) ( ( ) (( ) ) ) (( ( ) ) ( ( ) Allez

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

CHAPITRE 2. CALCUL LITTÉRAL 38 et x + (−y + z) = x − y + z. 2) Si une parenthèse est précédée du signe on change les signes des termes dans la parenthèse. Par exemple, a − (b − c + d) = a − b + c − d et x − (−y + z) = x + y − z. 2.3 MONÔMES ET POLYNÔMES 2.3.1 LES MONÔMES Les expressions suivantes sont des monômes: 1 2 2 3 − xy 0,3a2 b x yz 2 3 Un monôme est un nombre, ou une variable, ou le produit d’un nombre et de certaines variables. 12 x 3z3 Dans un monôme, le nombre s’appelle le cœfficient

que pour tout x ∈ R b ≤ | x | =⇒ q( x ) > 0 En d´ duire qu’il existe x0 ∈] − b, b[ tel que P( x0 ) = 0. e 2. En utilisant le crit` re du 1), trouver un r´ el b tel que x3 − 2x2 − 3 soit positif pour e e x > b et n´ gatif pour x < −b. Faire une factorisation en facteurs du premier degr´ e e pour trouver le plus petit r´ el a tel que f ( x ) > 0 pour x > a et le plus grand r´ el e e c tel que f ( x ) > 0 pour x < a. 3. Trouver un r´ el b tel que x5 − 3x4 − 125x3 + 200x2 − x + 2 soit positif pour x >

. . . . . . 158 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de solution car le carré de tout nombre réel est positif. • Si k = 0, on obtient x2 = 0 ⇔ x × x = 0 ⇔ x = 0. Il n’y a donc qu’une seule solution : x = 0. • Si k &gt; 0 alors = ( )2k k . L’équation est alors équivalente à x – ( ) = 02 2k . Par factorisation en utilisant l’identité remarquable a2 – b2 = (a + b)(a – b), on obtient : x2 = k (x + k )(x – k ) = 0 ⇔ x + = 0k ou x – = 0k ⇔ x = – k ou x = k . Donc si k &gt; 0, l’équation x2 = k a deux solutions : x = k et x = – k . Exemples 1 x x=

l’appréciation des copies. Exercice 1 (2 points) Restitution Organisée de connaissances (ROC) : 2  b  ∆  On rappelle que la forme canonique de f ( x) = ax 2 + bx + c est : f ( x) = a  x +  − 2. 2a  4a   En déduire la factorisation de f . Exercice 2 (3 points) Les deux questions sont indépendantes 1/ Soit la fonction f définie sur  par f ( x ) = 4 x 2 − 8 x − 5 . a) Déterminer la forme canonique puis la forme factorisée de f . b) En déduire les solutions de l’équation

pour « négatif ». 2. Tableaux de signes Pour étudier le signe d’une quantité un peu compliquée, dans la plupart des cas, il suffit de la factoriser suffisamment pour faire apparaître des quantités plus simples dont on connaît le signe. La factorisation permet de faire ensuite un tableau de signes. Il en est de même quand la variable apparaît au dénominateur : on réduit au même dénominateur, puis on factorise, si besoin, le numérateur et le dénominateur ce qui permet de faire un tableau. ̈