Factorisation des polynômes

Polynômes 1) Définitions P(x)=2x+1 est un polynôme de degré 1 Q(x)=[pic] est un polynôme de degré 2 [pic] n’est pas un polynôme On appelle monôme de degré n toute écriture de la forme [pic], ou [pic] est un réel fixé et x une variable réelle. On appelle polynôme P toute somme de monômes, ou encore toute écriture de la forme [pic] . n s’appelle le degré du polynôme (le plus grand entier ). Coefficients : Les réels [pic] sont appelés les coefficients du polynôme. Quelques

+ y = = 7 et xy = S = 12 2 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré. Exemples

polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme. Exemple 1. Soit l’équation (1) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0, dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose P (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10. Le problème consiste à trouver toutes les racines, s’il en existe, du polynôme P , qui est du troisième degré. La première des choses à faire est de procéder à des essais numériques : c’est la recherche de racines évidentes

2 1.1 Algèbre .......................................................................................................... 2 1.2 Équations ...................................................................................................... 3 1.3 Polynômes et fractions rationnelles .......................................................... 6 1.4 Nombres complexes.................................................................................... 9 1.5 Analyse ......................................

i = k + 1, . . . , n. A la n de ce procédé, les éléments de la matrice U sont dénis par (i) uij = aij , tandis que les éléments de la matrice L sont les termes lij engendrés par l'algorithme de Gauss. Le coût de cette méthode de factorisation est de l'ordre de 2n3 /3 ops. En fait, pour passer de A(k) à A(k+1) on modie touts les elements de A(k) sauf les premières k lignes et les premières k colonnes, qui ne changent 6 pas ; pour chaque élément de A(k+1) il faut faire une multiplication

aux problèmes de définition. x 3x + 28 − x2 = 0 y −10 x2 + 5x + 15 = 0 z 3x2 − 1 = 6x √ √ { x + 15 = x2 + 2x − 15 Exercice 2 Soit P(x) = x3 − 7x2 + 2x + 40 un polynôme de degré trois. 1. Calculer P(4). 2. Déterminer un polynôme Q tel que l’on ait P(x) = (x − 4) Q(x) pour tout x ∈ 3. Calculer les racines de Q. En déduire sa factorisation. 4. Factoriser P, puis étudier son signe sur R. R (on dressera un tableau de signe). Exercice 3 On considère l’inéquation (I) : x+2 x+1 5x. 1. Quel

2015 Tables des matières Tables des matières Erreurs classiques Nombres et ensembles Opérations et tableau des signes Hiérarchie des opérations Fractions Puissances et racines Puissances Racines Notations Polynômes et fractions polynomiales Les produits remarquables Les méthodes de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules

alors vous pouvez conclure que la limite "tout court" existe 1.3 Lever l'indétermination par factorisation Soit la fonction f(x) suivante On vous demande de calculer la limite de cette fonction pour x tendant vers 4. CORRECTION Nous obtenons la forme indéterminée 0/0. Pour lever cette indétermination nous pourrions utiliser la règle de l'Hôpital. Cependant je vous propose d'utiliser la factorisation par identité remarquable histoire de varier les plaisirs (tableau récapitulatif des techniques

2 = 7 et xy = S = 12 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x 2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax 2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré

demande si P (n) est un nombre premier ou non suivant la valeur de n. 1. Avec la calculatrice émettre une conjecture. 2. (a) Vérifier que pour tout X, X + 1 = (X + 1) − 2X. (b) En déduire une autre écriture de x + 1 puis une factorisation de x + x + 1 en un produit de deux polynôme de degré 2. 3. Résoudre les équations x2 + x + 1 = 1 et x2 − x + 1 = 1. 4. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n, l’entier n4 +n2 +1 est-il premier ? Justifier la réponse. 4 4 2 2 2 2 Devoir maison 3 Exercice 1. Soit