Isométrie affine

morphisme x → (x ui n/pi ) de G dans Gi . Groupe de Prüfer Soit p un nombre premier. Montrer que {z : ∃n , zp = 1} est un sous-groupe de × qui n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. indication. Groupe diédral Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier à n côtés ne dépend pas (à isomorphisme près) du polygone choisi. Quel est son cardinal ? Quels en sont les sous-groupes ? Montrer que ses sous-groupes stricts sont monogènes. n ui n/pi i = 1 ;

Soit p un nombre premier. Montrer que z ∈ : ∃n ∈ , z p = 1 est un sousgroupe de × qui n’est pas isomorphe au produit de deux groupes non nuls. Indication. Montrer que ses sous-groupes stricts sont monogènes. Groupe diédral Montrer que le groupe des isométries du plan laissant stable un polygone régulier à n côtés ne dépend pas (à isomorphisme près) du polygone choisi. Quel est son cardinal ? Quels en sont les sous-groupes ? 1. Concepts algébriques fondamentaux 3 Sous-groupes finis de ( / , +) et

solutions. Exemples : 15 3x + 2y = 8 est équivalente à 3x = 8 – 2y 6x + 4y = 16 2y = 8 – 3x 8 – 2y x= On a exprimé x en fonction de y. 3 3 8 – 3x On a exprimé y en fonction de x y= ou y = 4 – x 2 2 2 (on trouve ainsi une application affine de coefficient directeur – , d’ordonnée à l’origine 4). 3 Il existe donc une infinité de solutions a une équation à deux inconnues. A chaque choix de x 8 – 3x correspond un y calculé par la formule y = 2 Système d’équations à deux inconnues

arguments sont numériques, retirer les parenthèses inutiles, appliquer des règles telles que 0 = x = x, 1*x = x, etc). 116 512 Problèmes corrigés - Pascal 7-16° Images réciproques d'une application quasi-affine [Nehlig 92, Reveilles 91] Pour x, y entiers on définit l'application "quasi-affine" donnant x' = E[(ax + by + e) / w], et y' = E[cx + dy + f) / w] où a, b, c, d, e, f sont des entiers relatifs et w un entier positif non nul. L'image réciproque d'un point est l'intersection de deux "droites

. . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chapitre 9. Étude affine et métrique des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1 9.2 9.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

la droite D correspond à l’application SD : C → C z → e2iθ z ¯ 37 Théorème 8.2.8. On appelle isométrie du plan toute application f du plan qui préserve les distances : ∀(z1 , z2 ) ∈ C2 , |f (z2 ) − f (z1 )| = |z2 − z1 |. Les translations, les rotations, les symétries et les symétrie glissées (c’està-dire la composée d’une symétrie et d’une translation) forment l’ensemble des isométries du plan. Homothétie Soit λ ∈ R. L’homothétie de rapport λ et de centre O est l’application du plan

endomorphisme d’un espace euclidien E. On dit que f est une isométrie, ou que f est un endomorphisme orthogonal, si pour tout x ∈ E, f (x) = x . 1. Montrer que si f est une isométrie de E, f est bijective et f −1 est une isométrie. 2. Un projecteur orthogonal est-il un endomorphisme orthogonal ? 3. Soit f une application de E vers E, montrer que f est un isométrie ⇔ ∀(x, y) ∈ E2 , f (x), f (y) = x, y . 4. Soit f ∈ L(E). Montrer que f est une isométrie, si, et seulement si, la matrice de f dans une base

n’est pas séparable. Exercice 19. Continuité de l’opérateur de translation sur Lp(Rd) et application Une partie de l’exercice se trouve dans [BP, Chap.13]. Pour h ∈ Rd et f ∈ Lp(Rd), on note τhf(x) = f(x− h) . 1. Montrer que τh : f 7−→ τhf est une isométrie de Lp(Rd). 2. a. On suppose que p <∞. Montrer que pour f ∈ Lp(Rd), on a lim h→0 ‖τhf − f‖p = 0 , lim |h|→+∞ ‖τhf − f‖p = 2 1 p‖f‖p . b. Ces résultats persistent-ils lorsque p =∞ ? 3. (Preuve du Théorème 7) Soit (αn) une approximation de l’unité

z → λeiθ z Plus généralement, toute application affine de C, c’est-à-dire de la forme z → az + b avec a, b ∈ C, a = 0, peut s’écrire comme une composée d’une rotation, d’une homothétie et d’une translation. Symétrie Soit θ ∈ R et D la droite du plan passant par 0 et d’angle θ. La symétrie orthogonale par rapport à la droite D correspond à l’application SD : C → C z → e2iθ z ¯ Les translations, rotations et symétries forment l’ensemble des isométries du plan, c’est-à-dire des applications qui préservent

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI Géométrie 261 261 262 264 265 266 267 268 269 269 272 272 274 276 278 278 280 280 281 5 89 Sous-espaces affines 90 Applications affines 91 Barycentres 92 Propriétés des triangles 93 Coniques 93.1 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .