Isométrie affine

la norme Y : elle est constante sur toutes les sphères centrées en zéro. Cela implique qu’elle est invariante par rotation ou symétrie orthogonale d’axe passant par 0 : elle est invariante par toutes les isométries de Rd : on dira que Y suit une loi gaussienne isotrope. Rappelons que les isométries correspondent à des changements de bases orthonormées (BON). En conséquence, on a la première propriété importante : Propriété 11 Soit Y un vecteur aléatoire de Rd de loi normale isotrope de variance σ 2

Creative Commons – BY-NC-SA – 3.0 FR Dimension finie Groupes Nombres complexes Polynômes Espaces vectoriels Applications linéaires Déterminants Arithmétique Systèmes linéaires Matrices Ensembles & Applications Logique & Raisonnements Géométrie affine et euclidienne Droites et plans Fonctions continues Nombres réels Trigonométrie Fonctions usuelles Courbes paramétrés Développements limités Suites II Suites I Dérivées Équations différentielles Intégrales I Zéros de fonctions Intégrales II

Manipulation de lignes et de colonnes Cas n = 2, n = 3 Déterminant de Vandermonde Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs Orientation d'un espace vectoriel réel de dimension finie 64 Supplément : Rang et sous-matrices 65 2.10 Systèmes affines 2.10.1 Position du problème 2.10.2 Résolution dans le cas d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation

13 10 7 4 1 9 13 17 21 25 29 exercice 6 Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) on considère la droite D d’équation ax + by + c = 0, avec (a, b) = (0, 0). 1) Ecrire l’équation de la droite perpendiculaire à D et passant par le point M0 de coordonnées (x0 , y0 ). 2) En déduire que la distance de M0 à la droite D est donnée par la formule d(M0 , D) = |ax0 + by0 + c| √ . a2 + b2 exercice 7 Dans l’espace affine euclidien usuel rapporté à un repère orthonormé (O, i, j

et différence de fonctions continues. Il faut prendre garde aux notations : ici les lettres a , b, x et y désignent des réels fixés, la variable étant la lettre t. Les applications t → (1 − t)a + t x et t → (1 − t)b + t y sont continues car affines. g est donc continue comme différence de composées de fonctions continues. Pour montrer que g ne s’annule pas on peut raisonner par l’absurde : si g s’annule en un point u on obtient deux points où f prend la même valeur et l’hypothèse d’injectivité

genre (filles et garçons), en fonction de leur appartenance à une poule et, éventuellement, des différences de scores. Des rencontres inter poules (par exemple entre le dernier de la poule A et le premier de la poule B) peuvent être envisagées pour affiner ce classement qui sert de critère pour cette portion de note. L’attribution des points est corrélée avec les autres indicateurs, en particulier techniques et tactiques. NIVEAU 1 NON ATTEINT De 0 à 9 0 point - - - - - - - - - - - - - - - - -- -2 points

(Fn ). = n=1 I.7.25. Soit (X, d1 ) un espace métrique et p un point de X. Pour u ∈ X, on définit la fonction fu par fu (x) = d1 (u, x) − d1 (p, x), pour x ∈ X. Prouver que u → fu est une application conservant les distances, autrement dit, une isométrie de (X, d1 ) dans l’espace C (X, R) des fonctions continues sur X à valeurs réelles muni de la distance d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ X}. I.7.26. Prouver qu’un espace métrique X est compact si et seulement si toute fonction continue f : X −→

de ceux-ci, ce qui ach`evera la d´emonstration. Pour cela consid´erons N := (p1 . . . pr ) + 1 et q un facteur premier de N (il en existe) ; comme les pi ne divisent pas N on doit avoir q distinct des pi . Cet ´enonc´e peut ˆetre consid´erablement affin´e en quantifiant “combien” il y a de nombres premiers. Appelons π(x) le nombre de nombres premiers ≤ x ; par exemple π(2) = 1, π(3) = 2, π(10) = 4 et π(100) = 25. Il y a un si`ecle Hadamard et De La Vall´ee-Poussin ont r´eussi ` a montrer que π(x)

distinct de ceux-ci, ce qui ach`vera la d´monstration. Pour e e cela consid´rons N := (p1 . . . pr ) + 1 et q un facteur premier de N (il en existe) ; comme e les pi ne divisent pas N on doit avoir q distinct des pi . Cet ´nonc´ peut ˆtre consid´rablement affin´ en quantifiant “combien” il y a de nome e e e e bres premiers. Appelons π(x) le nombre de nombres premiers ≤ x ; par exemple π(2) = 1, π(3) = 2, π(10) = 4 et π(100) = 25. Il y a un si`cle Hadamard et De La Vall´e-Poussin e e ont r´ussi ` montrer que

comprendre comment votre corps peut réagir face aux diverses sollicitations. Ce chapitre s’applique à toutes les activités physiques sportives ou artistiques (APSA). Il constitue la base de savoir minimum. Les principes physiologiques de base peuvent être affinés, déclinés au regard d’une spécialité dans les cédéroms ou document papier. N.B. Ce chapitre vous apporte des connaissances indispensables à l’entretien oral de l’option facultative EPS au baccalauréat général et technologique. Introduction