Ln Maths

qu’il existe un entier n0 tel que un > 0 pour tout n ≥ n0 . b. On pose ici n Sn = p=n0 ln up Montrer que la convergence de la suite (Sn )n≥n0 est ´quivalente ` la convergence du e a produit pn . Lorsque la suite (Sn )n≥n0 converge vers l, donner la limite de la suite (pn )n∈N∗ 2. Cas particulier : uk = k k , Sn = a. Montrer que pour tout p ≥ 3 : 0 < (ln(p + 1))2 − (ln(p))2 ≤ 2 ln p p 1 ln p p p=1 n b. La suite (Sn )n∈N∗ et le produit pn sont-ils divergent ou convergent ? 9

]0,1[ ou sur ]1,+∞[. Sur chacun de ses intervalles, le x–1 théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique avec f(t,x) = 2 . Donc ou bien x ≡ 1, ou bien x n'est t –t jamais égal à 1, de sorte que : x' 1 1 1 1 = = =– + x – 1 t2 – t t(t – 1) t t–1 ⇒ ⇒ ⇒ ln x – 1 = ln t–1 + Cte t t–1 où Cte' = exp(Cte) t x – 1 = Cte' × x–1=λ t–1 en posant λ = ± Cte' suivant les signes des termes sous la valeur absolue (qui t sont constants sur chacun des intervalles cités plus haut). Si on se donne t0 et x0, il y a un

de méditer... la Loi. Par ailleurs, l’addition de recettes et de dépenses prévisionnelles est encore bien plus délicate à interpréter car les montants, les dates de versement et même le prix du temps, sont autant de paramètres aléatoires. Les maths fi des banquiers L’appellation Mathématiques financières est devenue ambiguë en ce début de troisième millénaire. Les traders spécialistes du quantitatif du front office, surnommés « Quants », utilisent en effet des mathématiques de la finance

cours maths 3 \(2i\350me S.T.\)Table des matières 1 Intégrales simples et multiples 5 1.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Primitive d’une fonction

utilisant 1.) les intégrales suivantes : π a) 0 x sin x dx 1 + cos2 x tan(α − β ) = b) 0 π 4 log (1 + tan x) dx. Rappel : Correction tan(α) − tan(β ) 1 + tan(α) tan(β ) [005924] Retrouver cette fiche et d’autres exercices de maths sur exo7.emath.fr 3 Correction de l’exercice 1 1. Soit ε > 0 donné. Puisque f est Riemann-intégrable sur [a, b], il existe une subdivision σ1 = {a0 = σ a < a1 < · · · < an = b} de [a, b] telle que S f 1 ≤ Sσ1 + ε . Puisque g est Riemann-intégrable

AaBbCcDdEeFfGgHhIiJjKkLlMmNnOoPpQqRrSsTtUuVvWwXxYyZz AaBbCcDdEeFfGgHhIiJjKkLlMmNnOoPpQqRrSsTtUuVvWwXxYyZz AaBbCcDdEeFfGgHhIiJjKkLlMmNnOoPpQqRrSsTtUuVvWwXxYyZz AaBbCcDdEeFfGgHhIiJjKkLlMmNnOoPpQqRrSsTtUuVvWwXxYyZz Maths complexes =⇒ éviter txfonts et pxfonts ; pour le texte, fourier = mathdesign/utopia, mais = pour les maths. Autres polices pour les titres, sections, codes informatiques, etc. Changer la police courante pour pnc : \fontfamily{pnc}\selectfont. Changer la police sans sérif pour pag : \renewcommand{\sfdefault}{pag}

Remarque 1 Le vecteur ∂f (X0 ), ∂f (X0 ) est appel´ gradient de f en X0 et ∂x ∂y est not´ e grad f (X0 ) = f (X0 ) = f (X0 ) 1.11.1 Applications ´conomiques des d´riv´es partielles: e e e utilit´s marginales des biens e Soit U (x, y) = x ln y la fonction d’ utlit´ d’ un consommateur d´pendant e e de deux biens 1 et 2, consomm´s en quantit´s x et y. Les utilit´s marginales e e e ∂U ∂U sont les d´riv´es partielles ∂x (x, y) et ∂x (x, y) de cette fonction d’ utilit´ par e e e

u, alors P(l) = 0. Preuve Soit x un vecteur propre de u associé à l. On a donc u(x) = lx. Prouvons par récurrence que ∀n ∈ N, un (x) = ln x . 9 Chapitre 1 – Compléments d’algèbre linéaire Pour n = 0, on a u0 (x) = Id(x) = x qui est bien égal à l0 x = x. Supposons que un (x) = ln x, alors un+1 (x) = u(un (x)) = u(ln x) = ln u(x) = ln · lx = ln+1 x ce qui achève la récurrence. n ak X k . On a Notons P = k=0 n n ak uk P(u)(x) = k=0 n ak uk (x) = (x) =

issue de terminale S. Car même si quelques écoles s’ouvrent aux titulaires de bacs technologiques STI et STL, ces derniers restent minoritaires. Et même parmi les bacheliers S, une sélection « naturelle » s’opère entre ceux qui ont choisi les options maths ou physique-chimie, plutôt bien placés, et les autres. Des étudiants moins stressés Les écoles qui recrutent après le bac proposent pour la plupart un schéma d’études identique comprenant deux années de cycle préparatoire suivies de trois années

1 | Pour 1 itération | C1 = 12 | R1 = 3 | L1 = 3 | P1 = 36 | A1 = A0 + (A0/3)A1 = 46,8 | Pour 2 itérations | C2 = 48 | R2 = 12 | L2 = 1 | P2 = 48 | A2 = A1 +(4/9)x(A0/3)A2 ± 52 | Pour « n » itération | Cn = C0 x 4nCn = 3 x 4n | Rn = R1 x 4n | Ln = L0 x (1/3)n | Pn= 3L0x(4/3)n | An = A0 + (A0/3) x [(1-(4/9)n)/(1-(4/9))]An=A0+(3A0/5)(1-(4/9)n) | Explications : Pour Pn : La formule n’est pas flagrante, mais nous savons que le périmètre est égal à la longueur d’un côté multipliée par