Loi binomiale négative

Variante et l’écart-type 5 AJUSTEMENT ANALYTIQUE 6 I 1 ére Methode de Mayer 6 2éme Methode :Les moindres carrés 7 Corrélation Linéaire 7 LES PROBABILITES 9 I Notion de variable Aléatoire 9 II Lois de Probabilités 10 A Loi Binomiale 10 B Loi Normale ou loi de Laplace-Gauss 11 Terminologie statistique Serie statistique = ensemble de données Unités statistiques = element constituant la serie statistique Variable = une caractéristique des unités CA en k€ | NB de client | Ecc

B – Loi binomiale D : une composition florale prélevée au hasard est défectueuse P(D) = 0,025 On prélève au hasard 12 compositions florales (assimilé à un tirage avec remise) X est la variable aléatoire, qui, à tout prélèvement ainsi défini associe le nombre de compositions qui sont défectueuses. 1. On effectue un prélèvement 12 fois de suite, les épreuves sont indépendantes 2 à 2 et il y a 2 issues : La composition est défectueuse p = 0,025 ou elle ne l’est pas q = 0,975 Donc X suit la loi binomiale

B) p(A) × p(B) p(A ∩ B) 0,0002 = = 0,01. (en fait = = d. On a p A (B) = p(A) 0,02 p(A) p(A) p(B)). 2. a. On a manifestement une épreuve de Bernoulli avec deux issues (sac sans défaut, sac défecéfectueux). La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 0,03. k 100 sacs soient défectueux est : 100 0,03k (1 − 0,03)100−k k b. On sait que la probabilité que k, 0 p(X = k) = L’évènement contraire de l’évènement « au moins un sac est défectueux » est « il n’y a pas

A ∩ B ) = 0.05 + 0.10 – 0.005 = 0.145 Partie B : Loi binomiale et loi de Poisson 1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale car nous avons n tirages indépendants (prélèvements au hasard et avec remise) et il y a deux issues possibles (expérience de Bernoulli) : soit la fiche indique une pression intraoculaire normale (succès p =0.10), soit ce n’est pas le cas (échec q = 0.90). Les paramètres sont B (n , 0.10). 2. On a la loi binomiale de paramètres B(10 , 0.10). On va calculer P(X=0) :

millième (cohérent avec l’énoncé de la partie 2 !). PARTIE 2 Notons X la variable aléatoire qui désigne le nombre de déplacement du service durant ce mois. Les interventions dans les différentes entreprises étant supposées indépendantes, X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0.373. Ainsi, p ( X ≥ 1) = 1 − p ( X = 0 ) = 1 − (1 − 0.373)10 ≈ 0.991 soit environ 99.1% de chance d’intervenir au moins une fois dans l’une des 10 entreprises. 

EXERCICE CORRIGE Une laiterie produit des camemberts commercialisés sous la marque « Le moine gourmand ». La masse X, exprimée en g, d’un camembert tiré au hasard dans la production, est distribuée selon une loi normale. On tire un échantillon simple de 17 camemberts que l’on pèse et dont le tableau suivant fournit les masses : 250 254 254 253 256 250 257 251 253 255 250 255 252 261 252 251 255 1a) En utilisant une calculatrice donner la moyenne et la variance de cet échantillon. b) Donner une

usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.4.1 La loi binomiale B(n, p) . . . . . . . . . . . . 1.4.2 La loi hyperg´om´trique H(N, n, p) . . . . . e e 1.4.3 La loi de Poisson P(m) . . . . . . . . . . . . 1.5 Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 La loi normale (Laplace-Gauss) N (µ, σ) . . . 1.5.2 La loi du Khi-deux ` n degr´s de libert´ (χ2 ) a e e n 1.5.3 La loi de Student ` n degr´s de libert´ (Tn ) . a e e 1.5.4 La loi de Fischer-Snedecor (F(n1 , n2 )) . . . . 5 5 5 7

tubes défectueux dans le prélèvement. a) Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,03. b) Déterminer la probabilité P (X = 1). c) Déterminer la probabilité que, parmi les 10 tubes, un tube au moins présente un défaut. 2. On prélève 300 tubes dans la production. On décide d’approcher la variable aléatoire donnant le nombre de tubes défectueux dans le prélèvement par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 9 et d’écart type 3. a) Déterminer la probabilité

questions. On s’intéresse au nombre N de bonnes réponses qu’il obtient ainsi aux 100 questions. 1°) justifier que la loi de probabilité de N est la loi binomiale B(100 ; 0,45) 100 une m^exp a 2 issues Indep des res Constance de la proba de succeès N compte le nbre de succès 1 ………. ….. on admettra dans toute la suite de l’exercice, que la variable N suit la loi binomiale B(100 ; 0,45) 2°) Calculer la probabilité d’avoir 50 bonnes réponses parmi les 100. (donnez le détail du calcul)

tableur, trouver la plus grande valeur de n telle que P(Sn 150) 0,99. L’outil informatique : Dans Excel par exemple, la fonction LOI.BINOMIALE(k ; n ; p ; VRAI) donne la probabilité que le nombre de succès soit inférieur ou égal à k, pour une loi binomiale B(n , p) de paramètres n et p. Réponse : On peut réserver jusqu’à 158 places, avec une probabilité supérieure à 0,99 que se présentent au plus 150 passagers. Commentaire : La difficulté ne réside pas ici dans le calcul, mais dans la modélisation