Loi binomiale négative

Probabilité Contrôle Continu n°1 Corrigé Exercice 1 Soit X une variable aléatoire discrète de loi de probabilité; xi 1 2 3 4 5 6 P(X=xi) 0,10 0,20 0,10 0,30 0,10 0,20 1) Calculer l'espérance et la variance de X. Réponse : Pour p=0.25 on a : xi 4 ?(?) = � ? ? ? ? 1 2 3 4 P(X=xi) 0.25 0.25 0.25 0.25 ?=1 ?(?) = 1 × 0.25 + 2 × 0.25 + 3 × 0.25 + 4 × 0.25 ???? ?(?) = ?. ? 6 ???(?) = � ? ? [? ? − ?(?)]2 ?=1

.... 3 VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE NON NEGATIVE : TRANSFORMEE DE LAPLACE..................................... 4 II. LOI DE POISSON .................................................................................................................................... 4 III. LA LOI EXPONENTIELLE.................................................................................................................... 6 IV. MANQUE DE MEMOIRE DE LA LOI EXPONENTIELLE .........................

fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6

cette situation par un tirage aléatoire de 10 boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de 10 boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides. 3. Calculer la probabilité qu’au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides. Partie C À des fins publicitaires, le grossiste

Mémento de statistique 1 Tables de lois de probabilités usuelles Ces tables présentent les principales caractéristiques des lois de probabilité les plus usuelles. Pour chaque loi de probabilité, on donne son nom usuel, son symbole, son support et son espérance. Les lois discrètes sont définies par les probabilités élémentaires et la fonction génératrice, les lois continues par la densité et la fonction caractéristique. Pour les lois unidimensionnelles, on donne la variance, et pour les lois multidimensionnelles

reproduction intégrale ou partielle faite pur quelque procédé que ce soit, sans Je consentement de l'auteur ou de ses ayants cause, est illicite el constitue une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code pénaL Par ailleurs, la loi du 1 1 mars 1957 interdit formellement Jes copies ou les reproductions destinées à une utilisation collective. © Editions Teclmip. Paris, 2006. Imprimé en France ISBN 2-7108-0814-5 Avant-propos La précédente édition de cet ouvrage a été publiée

variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les 2 000 tirages sont indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu’un cône soit défectueux est de 0, 003. On peut donc dire que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 2000 et p = 0, 003. 2. Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l’entreprise procède alors à un échange de celui-ci. L’événement « un lot n’est pas échangé » se produit quand le nombre de cônes défectueux

bien il ne répond pas correctement à la question avec la probabilité 1 − p = 0, 3). On répète n = 10 fois, de manière indépendante, une telle épreuve de même paramètre p = 0, 7, alors la variable aléatoire X égale au nombre de « succès » suit la loi binomiale de paramètres 10 et 0, 7, c’est-à-dire pour tout k ∈ 0; 1; 2; . . . ; 10 , P ({X = k}) = 10k × 0, 7k × 0, 310−k b. P ({X P ({X 9}) = P ({X = 9}) + P ({X = 10}) 9}) = 109 × 0, 79 × 0, 3 + 1010 × 0, 710 = . . . P ({X 9}) ≈ 0, 15 à 10−2 près 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Variables et vecteurs aléatoires …nies 1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . 2 Loi d’ une var …nie . . . . . . . . . . 3 Moments d’ une var …nie . . . . . . . 4 Loi d’ vecteur aléatoires …nis . . . un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ESTIMATEURS, INTERVALLES DE ` CONFIANCE ET TESTS D’HYPOTHESES Paul Lescot 05 Mai 2009 1.Estimateurs ˆ Soit θ un param`tre (ou une fonction des param`tres) de la loi d’une variable e e al´atoire X (par exemple l’esp´rance ou la variance), et soit alors X1 ,...,Xn ,... une e e suite de variables al´atoires ind´pendantes et chacune de mˆme loi que X. On e e e ˆa cherche ` estimer θ ` partir d’un ´chantillon empirique. On appelle estimateur de a e ˆ θ une fonction θn = gn (X1 , ..., Xn ) des n premi`res