Loi normale

Exercice 2 A. Loi normale 1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5) La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5 suit la loi normale 0,21 Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38. = 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38)

Variables aléatoires : X Loi de probabilités : soit p(xi) = P(X = xi) la probabilité que X = xi ∑ P(X = xi) = 1 si X est discrète, la loi de proba : X=xi x1 x2… P(X=xi) P1 P2… 1 f(x) ≥ 0 ∫f(x)dx = 1 sur tt domaine P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx sur [a,b] si X est continue on définit une fonction f(x) de densité telle que : Fonction de répartition pour une v.a discrète : F(x) = P(X ≤ x) = ∫f(x)dx f(x) = (F(x))’ Propriétés : 0 ≤ F(x) ≤ 1, monotone décroissante, continue à droite. Loi de probabilité simultanée

Chapitre 9 Chapitre 9. Lois à densité Activités et applications 2. Loi exponentielle Activité. Ajuster une courbe pour calculer des probabilités 1. Loi uniforme Activité. Une simulation 1. 1. La fréquence est 103 = 0,103. 1 000 Ύ2 000 3 000 f(x) dx. 2. y 2. Sur l’ordinateur. 3. Il faut entrer la formule, =NB.SI(A2:A1001;''<0,2'')–NB.SI(A2:A1001;''<0,1'') . 4. x X < 0,1 0,1 < X < 0,2 0,1 < X < 0,4 X > 0,6 10 % Intuition Fréquence trouvée 0,103 par la simulation 10 % 30 % 0 40 % y

e e 2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . e e 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . . e e 2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss . . . . . 2.2.3 Loi du χ2 .

Historique de la formation des enseignants Avant la naissance des écoles normales quelques dispositifs se mettent en place pour former les maîtres : - Jean-Baptiste de la Salle ouvre en 1679 des séminaires pour la formation des maîtres et compose l'un des premiers manuels de pédagogie: la conduite des écoles chrétiennes en 1720. - Vers 1750 avant d'entrer en fonction, le maître doit subir un examen devant les notables locaux et le curé (il doit savoir lire, écrire, compter, connaître la

d'automobilistes arrivant au péage. La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  = 1. Le processus de Poisson se rencontre aussi dans les exemples suivants : appels à un standard téléphonique, arrivées de clients à une caisse, nombre d'erreurs sur une page de documents, pannes de machine, apparition de défauts sur des tissus… Loi de Poisson : La variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre  ( > 0 ) lorsque sa loi de probabilité est : k est un entier naturel. On a alors

f (t) = (λt + µ)ert o` r est la racine double de l’´quation caract´ristique u e e rt 0, f (t) = [λcos( βt) + µsin( βt)] e o` r1 = α + iβ et r2 α − iβ sont les u complexes conjugu´es de l’´quation caract´ristique e e e 3. PROBABILITES a. Loi binomiale b. Loi de Poisson P(X=k)= k\ λ n! Cn pk qn−k o` Cn = k ! (n-k) ! u k k E(X)= np ; σ(X)= √ npq e−λ λk k! E(X)= λ 0,4 0, 6703 0, 2681 0, 0536 0, 0072 0, 0007 0, 0001 0, 0000 V(X)= λ 0,6 0, 5488 0, 3293 0, 0988 0, 0198 0, 0030

les lois COMMENT RECONNAITRE : Une Loi Normale ? Une Loi Binomiale ? Une loi de Poisson ? I. INTRODUCTION Voici un schéma qui résume bien la situation  Loi Binomiale (1) : « n » doit être petit n  30 « p » peut être petit ou grand 0 0,1 1 Loi de Poisson (2) Loi Normale (3) n est grand n est grand

de l’approche bayésienne est le calcul de la loi a posteriori. Ce calcul est facilité lorsque loi a priori et loi a posteriori ont la même forme. Dans ce cas, on parle de loi a priori conjuguée. Définition 9 – Une famille F de lois sur Θ est dite conjuguée si, pour tout π appartenant à cette famille, la loi π(θ/x) appartient également à celle-ci. Dans ce cas, le praticien induit directement la forme de son estimateur dès qu’il a choisi sa loi a priori. Exemples de lois conjuguées f (x/θ)

(probl`me des rencontres, le e e e chevalier de M´r´, boules et urnes). ee e CHAPITRE 5. Variables al´atoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application r´ciproque. Fonctions mesurables. Variables al´ae e toires. Loi de probabilit´ d’une variable al´atoire. Fonction de e e r´partition d’une variable al´atoire r´elle. La fonction de masse e e e et les discontinuit´s de la fonction de r´partition. Tribu engendr´e e e e par une variable al´atoire. Compl´ments et exercices