Nombre réel

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

trinôme Les solutions de l’équation p(x) = 0 dépendent du signe du discriminant ∆ √ √ −b − ∆ −b + ∆ ou x2 = • Si ∆ > 0, on a deux racines distinctes : x1 = 2a 2a b • Si ∆ = 0, on a une racine double : x0 = − 2a • Si ∆ < 0, pas de racine réelle. Exemple : Résoudre : 2x2 + 3x − 14 = 0 on calcule ∆ = 9 + 112 = 121 = 112 on obtient : x1 = 3 −3 + 11 =2 4 ou x2 = −3 − 11 7 =− 4 2 Factorisation, somme et produit des racines La factorisation de p(x) dépend du signe

élément x de I, un nombre réel f(x) au plus. f:I  x  f(x) x est la variable et f(x) est l’image de x. On note y = f(x). L’ensemble des éléments de I ayant une image est appelé ensemble de définition, noté E. 2) Représentation graphique Dans un plan muni d’un repère, la représentation graphique C d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). y = f(x) est une équation cartésienne de C. f(x) 0 3) Sens de variation d’une fonction x Si pour tous nombres x1 et x2 d’un

(srce): x = e Dérivée: (e x ) = e x > 0 ′ ′ [e u(x) ] = u (x) ∗ e u(x) srce 1 ′ Limites: lim− ∞ e x = 0+ lim+ ∞ e x = +∞ 1.3 Fonction puissance Définition: La fonction puissance f est définie par f (x) = x α = e α pour tout x réel positif non nul et tout réel quelconque α. x α ∗y α = (xy) α (x α ) β = x α∗β x α ∗x β = x α+β xα x =( )α α y y ln x xα = x α−β β x 1 p 1 α p q q q p si α ∈ Q soit p ∈ Z et q ∈ N Formules (srce): x = x = (x ) = (x ) Dérivée: (x α ) = α ∗ xα−1 est de même signe

dérivable sur IR comme produit de fonctions dérivables, et pour tout réel x : u’(x) = e-x – x e-x. Donc pour tout réel x : u’(x) + u(x) = e-x. u est donc bien solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x) = C e-x , où C est un réel fixé. 3) v est solution de (E) si et seulement si pour tout réel x v’(x) + v(x) = e-x, ce qui équivaut à : pour tout réel x v’(x) + v(x) = u’(x) + u(x), ce qui équivaut à : pour tout réel x (v – u)’(x) + (v – u)(x) = 0, ce qui équivaut à : v – u est solution

R et a ∈ I le nombre dérivé de f en a ,noté f’(a) est f’(a)=limx→afx-f(a)x-a (ou limh→ofa+h-f(a)h ) Si cette limite existe et est finie On dit que f est dérivable en a ssi f’(a) existe 4. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I C R et a ∈ I, on peut associer son nombre dérivé f’(x). On définit ainsi une nouvelle fonction, la fonction dérivé de f, noté f’ telle que f’ : x →f’(x) 5. Une fonction est dérivable en un réel si la dérivée de ce réel existe 6

 telles que pour tout réel x de cet intervalle : f ( x)  ( x  e)(ln x 1) et g ( x)  ln x  Partie 1 1. Démontrez que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle 0;  . 2. Calculez g (e) et, grâce à la question 1, donnez le signe de g (x) pour tout x strictement positif. Partie 2 1. Déterminez les limites de la fonction f en 0 et en +  . Interprétez s’il y a lieu ! 2. On note f ‘ la dérivée de f. Démontrez que f ‘(x) = g (x) pour tout nombre réel x strictement positif. 3.

fonction somme : (u + v)' = u' + v' ; * fonction produit par un nombre réel : (k × u)' = k × u' ; * fonction produit : (u × v)' = u' × v + u × v' ; * fonction rationnelle : ; * fonction puissance : (un)' = n × un−1 × u'. EXPOSANT R2EL * = 1 065,16 €. Ex 1000 e 6 % interet l’an valeur o bout du 13 moi * Une puissance de 1 est toujours égale à 1 : 1x = 1 * Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on ajoute les exposants : ax × ay = ax + y. * Prendre l'inverse

l’exponentielle. Propriété II.6 1. exp 0 = 1 2. ∀(x, y) ∈ R2 , exp(x + y) = exp x exp y. exp x . 3. ∀(x, y) ∈ R2 , exp(x − y) = exp y 4. ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, exp(nx) = (exp x)n Exercice 2.6 1 + x. Quelle est le cas d’égalité ? 1 2. Montrer que pour tout réel x < 1 : exp x 1−x exp x − 1 =1 3. Montrer que lim x→0 x PCSI 1 Lycée Descartes 1. Montrer que : ∀x ∈ R, exp(x) 5 LES FONCTIONS USUELLES Cexp e+ Cln 1 + + 1 e + Figure 2 – Représentations graphiques des fonction

Posons f ( x) = A cos 3x + Bsin 3x . On a, pour tout réel x : f '( x) = −3A sin 3 x + 3Bcos3 x et f "( x) = −9A cos3 x − 9Bsin 3 x = −9 ( A cos3 x + Bsin 3x ) = −9 f ( x) donc qui prouve que f est solution de l’équation y "+ 9 y = 0 . f "( x) + 9 f ( x) = 0 , ce 1$ Montrer que la fonction x ! Ae3 x + Be−3 x est solution de l’équation y" − 9y = 0, quelles que soient les valeurs des réels A et B. Posons f ( x) = Ae3 x + Be−3 x . On a, pour tout réel x : f '( x) = 3Ae3 x − 3Be−3 x et f "( x) = 9Ae3