Orthogonalité

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [2 ,15] par f (t) = -1/2 + 3 1n t. 1- Déterminer la dérivée f ’ de la fonction f et montrer que, pour tout t de [2, 15 ], f ‘(t)= 6 – t / 2t 2- a ) Etudier le signe de f ‘(t) sur l’intervalle [2, 15] b ) Monter que la fonction f admet un maximum dont on donnera la valeur exact. c ) Dresser le tableau de variation de la fonction f . Le compléter avec les valeurs exactes de f(2), de f(15) et du maximum.

, correction libanCORRECTION DU BAC 2007 Terminale S Liban Exercice 1 1) a) ln x = 0 ⇔ x = 1 ; ln x > 0 ⇔ x > 1 étant strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ ). ; ln x < 0 ⇔ x < 1 (la fonction ln 1 − ln x = 0 ⇔ lnx = 1 ⇔ x = e ; 1 − ln x < 0 ⇔ lnx > 1 ⇔ x > e ; 1 − ln x > 0 ⇔ lnx < 1 ⇔ x < e (la fonction ln étant strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ ). On en déduit le tableau de signes suivant : x signe de ln x signe de 1 − ln x signe de ln x )(1 − ln x ) ( 0 1 e + + +∞

Kit de survie - Bac ES 1 1-1 Signe de ax + b (a = 0) Etude du signe d’une expression On détermine la valeur de x qui annule ax + b, puis on applique la règle : "signe de a après le 0". x ax+b −∝ −b/a +∝ signe de a signe de (−a) 1-2 Signe de ax2 + bx + c (a = 0) On calcule la discriminant ∆ = b2 − 4ac (sauf cas évidents) • Si ∆ < 0, on applique la règle : "toujours du signe de a". x ax²+bx+c −∝ Signe de a +∝ b • Si ∆ = 0, on calcule la racine double :

Nombres complexes 1 Introduction historique n La notion de nombre complexe est li´e ` la r´solution des ´quations alg´briques ( e a e e e i=0 ai xi = 0). D`s e que n est sup´rieur ` 2, on a du mal ` trouver les solutions par des calculs simples et surtout rationnels e a a (faisant intervenir des racines carr´es, cubiques, etc.). Les babyloniens, apparemment, savaient ramener e la r´solution des ´quations quadratiques et bicarr´es ( ´quations de degr´ 4 o` n’interviennent que des

CORRIGÉ DEVOIR SURVEILLE N° 7 TERMINALE S 4 EXERCICE 1 : 1. On tire au hasard de l'urne un paquet de trois jetons. a) L'ensemble des issues de cette expérience aléatoire est formé des triplets de trois lettres deux à deux distinctes choisies parmi les lettres A, B, C, D, E, F. b)Card 6! 6 5 4 6 = = = 20. 3 3! 3! 3 2 2. a) On dénombre les triangles rectangles : à partir de chaque sommet, exemple A, on forme deux triangles 12 3 rectangles, comme ABD et AFD; il y a six sommets, donc 12

Vecteurs : calcul de coordonnées, vecteurs colinéaires 1°/ Dans un repère orthonormal, a- Placer les points A ( -1 ; -1 ), B ( 0 ; 2 )→C ( 3 ; 1 ). et → → b- Calculer les coordonnées des vecteurs AB et BC , puis déduire celles du vecteur AC . → → → c- Calculer les normes des vecteurs AB , BC et AC , puis déduire la nature du triangle ABC. 2°/ Dans un repère orthogonal, placer les points → 0 ; 1 ), B ( 1,5 ; 2 ), C ( 5,5 ; 3 ) et D ( 1 ; 0 ). A( → a- Calculer les coordonnées des vecteurs

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D’ADMISSION 2001 FILIÈRE PC PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. Les polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique

Chapitre 3 Géométrie élémentaire de l’espace Pour bien aborder ce chapitre De la même façon que dans le chapitre consacré à la géométrie plane 2, ce chapitre a pour vocations de vous familiariser avec le calcul algébrique et de vous donner des représentations pour les objets étudiés dans les chapitres 23 et 24 d’algèbre linéaire. Là encore, on pourra passer dans une première lecture les démonstrations qui ne sont pas marquées par un ♥ et se focaliser sur les autres parties. 3.1 Préambule

10 MAOSME 1 page 1/7 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition

Baccalauréat S Métropole 22 juin 2010 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère l’équation différentielle (E) : y ′ + y = e−x . 6 points 1. Montrer que la fonction u définie sur l’ensemble des nombres réels R par u(x) = xe−x est une solution de l’équation différentielle (E). 3. Soit v une fonction définie et dérivable sur R. Montrer que la fonction v est une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement