Orthogonalité

Trigonométrie : exercices, niveau troisième 1 Retrouver quelques valeurs exactes : En lisant un vieux livre de mathématiques Théodule trouve le tableau suivant : angle en ° sin cos tan 1 30 45 60 Pour retrouver ces valeurs : 1.1 Théodule construit un triangle équilatéral ABC dont les longueurs des côtés mesurent 2 (unités de longueur). Il appelle H le projeté orthogonal de A sur [BC], c’est aussi le pied de la hauteur, passant par A, du triangle. 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Quelles

ATSM Association Tunisienne des Sciences Mathématiques Forum du bac Math Thème : Intégrales Sousse : 22-23 Mars 2010 Exercice 1: Cocher la réponse exacte. 1. D’après la représentation graphique ci-contre, l’aire de la 2 partie limitée par la courbe de f , l’axe des abscisses et les 1 droites d’équations x = −1 et x = 3 est : 3 8. 5,33. 0 um -1 2. D’après la représentation graphique ci-contre, l’intégrale I = 3 0 f (x) dx est : I >0 1 I 0 x 1 dt , alors ∀x ∈]0

Kit de survie - Bac S 1 1-1 Opérations sur les inégalités même sens même sens sens contraire sens contraire même sens même sens même sens même sens même sens sens contraire Inégalités - Etude de signe Règles usuelles : Pour tout a : Pour tout k > 0 : Pour tout k < 0 : x < y ⇔ x+a < y+a x < y ⇒ kx < ky x < y ⇒ kx > ky 1 1 Pour x et y de même signe : x < y ⇒ > x y 2 < y2 Pour x > 0 et y > 0 : x 0 et y > 0 : x 0 et y > 0 : x < y ⇒ ln x < ln y Pour tous x et y : x < y ⇒ ex < ey Si f croissante

Baccalauréat STL France juin 2000 Physique de laboratoire et de procédés industriels Durée : 4 heures Coefficient : 4 E XERCICE 1 5 points Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 10 cm). 2π Pour tout entier naturel n, on note Mn le point d’affixe zn = ei 3 · in où i désigne le π nombre complexe de module 1 et d’argument . (Par convention, pour n = 0, i0 = 2 1.) 1. Déterrniner la forme algébrique ainsi que le module et un argument de chacun des nombres complexes

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 2003 Corrig´ de la seconde ´preuve de math´matiques e e e 1. On obtient directement :    6 5 5 1 1 1 H =  5 6 5  = I3 + 5 J avec J =  1 1 1  . 5 5 6 1 1 1 J est clairement de rang 1, donc 0 est valeur propre double de J, la troisi`me valeur propre ´tant ´gale ` 3 e e e a puisque Tr (J) = 3. Comme (1, 1, 1) est un vecteur propre ´vident associ´ ` la valeur propre 3, posons e ea   √ 1 3   e1 = 1 . 3 1     √ √ 1 1 2  6  Le noyau de J est alors l’orthogonal

ANGLES І) NOTION D’ANGLE Un angle est formé par deux demi-droites ayant la même origine. S est le sommet de l’angle. [Sx) et [Sy) sont les cotés de l’angle. ІІ) ANGLES EGAUX Définition : deux angles sont égaux s’ils sont superposables. Application : à l’aide de calque, reconnaître les angles égaux du polycopié. Remarque : gabarit d’un angle : III) LE RAPPORTEUR Il existe plusieurs unités pour mesurer les angles. Au collège, on utilisera uniquement le degré. On le note

Chap 7 Courbes param´tr´es e e 1 Pr´liminaire : Fonctions ` valeurs vectorielles e a E2  R2 est muni du produit scalaire et de la norme usuels. D´finition. Soit I un intervalle de R. Soit f : I Ñ R2 e . On dit que f a pour limite t ÞÑ pxptq, y ptqq en a si et seulement si : }f ptq ¡ } ÝÝÑ 0 t  p 1, 2q Ña 1 2 Propri´t´. f tend vers e e en a si et seulement si : 6 8x t Rappel. On dit qu’une fonction est de classe C1 lorsqu’elle est d´rivable et que sa d´riv´e est continue

Problème : 1) a) f32+h=25-432+h2=25-494+3h+h2=25-9-12h-4h2=16-12h-4h² f32=25-4*322=25-9=16=4 Th=f32+h-f32h=16-12h-4h²-4h=16-12h-4h²-4h*16-12h-4h²+416-12h-4h²+4 Th=16-12h-4h22-4216-12h-4h2+4h=16-12h-4h2-1616-12h-4h2+4h=-12h-4h216-12h-4h2+4h=h-12-4h16-12h-4h2+4h Th=-12-4h16-12h-4h²+4 b) limh→016-12h-4h2=16 limh→16h=4 Donc, par composition, limh→016-12h-4h²=4 Donc limh→016-12h-4h²+4=8 limh→0-12-4h=-12 Donc, par quotient, limh→0Th=-128=-32 La limite est finie, f est donc dérivable en 32

En ce qui concerne le maintien du corps, ce qui s'offre au premierCoup d’œil c’est la station droite de l'homme. Le corps animal courtParallèlement au sol. La gueule et l'œil suivent la même directionque l échine. L’animal ne peut de lui-même faire cesser ce rapportAvec la pesanteur, qui le distingue. L’opposé a lieu chez l'homme,Puisque l'œil regardant en avant, dans sa direction naturel , faitUn angle droit avec la ligne de la pesanteur et du corps. L'hommePeut aussi, à la vérité, marcher à quatre

Corrections de quelques exercices de la feuille no 3 : Formes lin´aires et espace dual e (1) (*) Soit E = IR3 . Montrer que toutes les formes lin´aires sur E s’´crivent f (x1 , x2 , x3 ) = a1 x1 + e e a2 x2 + a3 x3 D´monstration. E est un espace vectoriel de dimension 3 et soit e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E, tout vecteur x de e E s’ecrit, de maniere unique, sous la forme x= 3 xi ei avec xi ∈ R,choisissons l’ensemble {1} (ensemble a un seul i=1 element), comme base de R Soit la proposition :