Raison d'une suite

Un une suite arithmétique de raison r, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on ajoute la raison : Un+1 = Un + r On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel terme de la suite en fonction de n : Un = Uo + n.r (avec Uo le premier terme) Il faut faire parfois attention, car on peut avoir U1 comme premier terme et non Uo, on écrira Un comme ceci : Un = U1 + (n-1).r Si on veut déterminer la somme d'une suite arithmétique

I/Définition générale Une suite est une fonction définie sur l’ensemble des entiers naturel N (positif ou nul). L’image de l’entier naturel n se note Un (se lit « u indice n »). Le réel Un est appelé terme d’indice n ou de rang n de la suite u. (Un)n >/= 0 Le terme Un+1 est appelé le suivant du terme Un. Ces deux termes sont des termes consécutifs de la suite u. On peut commencer des suites au rang 1 : on note alors la suite (Un)n >/= 1. Exemples : Sois la suite u définie par une formule explicite par

Chapitre 1 Suites géométriques 1. Page d’ouverture • Énigme ✱ (Sn ) est la suite définie pour tout nombre entier n, par : 1 1 1 Sn = 1+ + 2 + …+ n . 2 2 2 En utilisant la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, pour tout nombre entier naturel n, 1 n+1 1– ⎛ 2 1 n+1⎞ = 2 ⎜1– Sn = 2 ⎟⎠ 1 ⎝ 1– 2 ⎛ 1n 1 n+1⎞ = 2 – S n = 2 ⎜1– 1+ . 0. 2 ⎟⎠ 2 ⎝ Donc la somme des aires des carrés ne dépassera pas 2 m². () () () () • Énigme ✱ ✱ 1 7 8 5 4    1. B et III.   2. A et II. 3. C et I

pages à lire. 2 Objectifs • Mettre en place la notion de suite, sous forme de succession de valeurs ou de fonction définie sur . • Comprendre la notion de suite monotone, avec utilisation de u n + 1 – u n . • Utilisation de suites définies par une relation de récurrence. • Observer à la calculatrice, par tabulation ou grâce à un graphique, l’évolution d’une suite. • Identifier une relation de récurrence pour calculer les termes d’une suite définie concrètement. • Traitement de problèmes de temps d’attente

Devoir 1 Problème 1 Partie A Soit une suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison 1,157. 1) Afin de déterminer le terme un en fonction de n, nous allons utiliser la relation de cours pour une suite géométrique de raison b entre un terme quelconque un et le premier terme u0 : un = bnu0. Ainsi, un = (1,157)n u0. 2) Déterminons la somme des dix premiers termes de la suite géométrique (un). D’après le cours, S = Premier terme ¥ 1-1,15710 1,15710 -1 1- raison nombre de termes = u0 . ce qui donne

Partie I Suites arithmétiques Définition. Une suite (an)n∈N de nombres réels est dite ”arithmétique” si, en dehors du premier terme de la suite, chaque autre terme se déduit du précédent par addition d’un réel constant. Le réel constant est appelé raison de la suite, Soit ak un terme quelconque de la suite, et r la raison de la suite ak = ak -1 + r Propriétés. a) lien entre les termes et le premier terme * si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul :

SUITES SESSION 1999 Antilles-Guyane septembre 1998 (5 points) On consid`re la suite (un )n e 0 Terminale ES (Sp´cialit´) e e d´finie par : e   u0 = 1 1 = un + 1. 2 1. Calculer u1 , u2 et u3 . − → → − 2. Dans le plan rapport´ a un rep`re orthonormal (O; i , j ) d’unit´ graphique 4 cm, tracer la droite (D) d’´quation e` e e e 1 e y = x et droite (D ) d’´quation y = x + 1. En utilisant (D ) et (D), repr´senter sur ce graphique les points P, e 2 Q, R, S, T, U, V, de coordonn´es respectives

I/ Etude globale d'une suite A) Définition et représentation graphique Une suite numérique est une fonction de N  dans R  . Pour désigner la suite u  , on peut écrire (u n )  . L'écriture u n   désigne en revanche le terme de rang n  de la suite u  , c'est-à-dire u(n)  . La fonction définie pour tout entier naturel n  par u(n)=2n+1  est une suite. Il existe trois façons de définir une suite. 1. Définition explicite La suite (u n )  est définie directement par son terme général : u n =f(n)  2

Méthodes sur les suites numériques A / Calculer un terme d'une suite numérique Si la suite est définie de manière explicite un=f (n) , c'est un calcul d'image, on remplace n par l'indice du terme souhaité. Exemple : (un) est définie pour n∈ℕ par un=2 n3+5 , on a u4=2×43+5=133 . Si la suite est définie par une relation de récurrence un+1=f (un) , il faut calculer tous les termes jusqu'à celui souhaité. En effet, la relation de récurrence permet de calculer un terme en fonction du précédent

Méthodes et exercices Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 : Comparer u n +1 − u n à 0. Exercice 1 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = n − 2 n pour tout n. Méthode 2 : Lorsque u n +1 = f (n ) pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n 0 , + ∞ [, (u n ) a le même sens de variation que f . Exercice 2 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = 2 n − 5 pour tout n ≥ 5. Méthode 3 : Lorsque la suite est strictement positive, comparer Exercice