Suite et série de fonctions

Fiche professeur 2e Auteurs : Pierre Lapôtre, Emmanuel Ostenne et Martijn van Brugghe But de l’activité : Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul employés au lycée contiennent des fonctions pré-programmées qui calculent les premier et troisième quartiles d’une série statistique. Ces fonctions sont basées sur des définitions de Q1 et Q3 différentes des définitions des programmes français d’enseignement. Elles nous donnent donc des résultats faux. Nous allons établir des algorithmes corrects

1.2 Sommes de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Propriétés de l’intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Propriétés de l’intégrale double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Calcul des intégrales

la classe de première technologique Consultation nationale sur les programmes Mathématiques Série STMG La consultation des enseignants se déroule entre le lundi 26 septembre et le vendredi 21 octobre 2011. Les contributions peuvent être envoyées depuis eduscol.education.fr/consultation 26 septembre 2011 © MENJVA/DGESCO ►eduscol.education.fr/prog MATHÉMATIQUES Cycle terminal Série sciences et technologies du management et de la gestion L’enseignement des mathématiques au collège

On considère la série de fonctions numériques de la variable réelle x, de terme général un (x) = a) Etudier la convergence de cette série. On définit la fonction f : R → R par : +∞ pour tout réel x, f(x) = n=1 cos(nx) . n2 b) Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip : 0 +∞ f(x) cos(px) dx. e) La série cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f

admet n valeurs propres distinctes. 3/8EXERCICE 2 La fonction dilogarithme Présentation générale Dans cet exercice, on commence par définir la fonction dilogarithme dans la première partie, puis on étudie quelques-unes de ses propriétés dans les parties suivantes. On admet et on pourra utiliser librement l’égalité : +∞∑ n=1 1 n2 = π2 6 . Partie I - Existence et premières propriétés de la fonction dilogarithme Dans cette partie, on considère la fonction f : ]0,+∞[×] −∞, 1]→ R définie par : ∀(t, x) ∈ ]0

directement la réponse sur la copie. Ce sujet est composé de deux exercices et d'un problème tous indépendants. EXERCICE 1 On considère la fonction f de R2 dans R dénie par : f (x, y) = y4 si (x, y) = (0, 0) x2 + y 2 et f (0, 0) = 0. 1. Démontrer que la fonction f admet des dérivées partielles premières en (0, 0) que l'on déterminera. 2. Démontrer que la fonction f est diérentiable en (0, 0). EXERCICE 2 1. Rappeler la dénition (par les suites) d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé

............................... 18 A. Suites et séries .............................................................. 18 B. Fonctions........................................................................ 25 C. Equivalents et développements limités ....................... 26 D. Intégration .................................................................... 28 E. Fonctions de plusieurs variables .................................. 32 2 Probabilités ........................................

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2.1 Séries entières Définition 2.1.1 On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le terme n général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée semble : an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche l’en    ∆ = x ∈ R :   ∞ n=0 qu’on appelle domaine de convergence de la série entière. Exemple 2.1.1 Exemple 1 :     n an x converge   xn . n! n=0 xn Posons

On appelle série entière toute série de fonctions fn dont le n terme général est de la forme fn (x) = an x , où (an )n désigne une suite réelle ou complexe et x ∈ R. Une série entière est notée l’ensemble ; an xn . Comme pour les séries de fonctions, on cherche     x∈R: ∆=   ∞ n=0     . an xn converge   C’est le domaine de convergence de la série entière. Exemple 1. ∞ xn . n! n=0 xn et appliquons le critère de D’Alembert ; Posons fn (x) = n! fn+1 (x) x lim = 0. La série entière est

Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4. Déterminer la nature de la série de terme général : { Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. Les sommes suivantes sont-elles finies ? ∑ ∑( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( )( ) Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6. Existence et calcul de : ∑ ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. Soit ( ) une suite de réels positifs et Montrer que les séries et sont de même