Suite et série de fonctions

particulière des séries de fonctions : celles de la forme ou dites séries entières. On s’intéresse dans un premier temps aux propriétés de la somme d’une série entière (domaine de convergence, continuité,…), on verra ensuite comment exprimer des fonctions usuelles comme somme des séries entières. I. Définition et domaine de convergence d’une série entière : 1. Définition : On appelle série entière réelle (resp. complexe) toute série de fonctions avec réel (resp

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 juillet 2012 Enoncés Exercice 7 [ 03310 ] [correction] an z n une série entière de rayon de convergence R. Soit Déterminer le rayon de convergence de a2 z n n 1 Séries entières Rayon et domaine de convergence Exercice 1 [ 00971 ] [correction] Déterminer le rayon de convergence des séries entières 2 n2 + 1 n ln n 2n a) z b) e−n z n c) z d) 3n n2 n 0 n 0 n 1 n 0 nn 3n z n! Exercice 8 [ 00975 ] [correction] On suppose que n |an | → ∈ R+

l’arsenal mathématique en tant que technique. Dans une optique de mise à niveau et de maîtrise des concepts de base, le cours aborde les principaux thèmes des mathématique générales. Les suites et les séries à termes positifs. la notion de limite. Les fonctions d’une ou plusieurs variables. L’optimisation. Les intégrales et les équatons différentielles. L’optimisation linéaire et la programmation mathématique. Chapter 1 Suites numériques: 1.1 Introduction: Pour étudier l’évolution d’une action en bourse

Table des matières I COURS . . iii 1 3 3 7 Séries entières 7.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Le domaine de convergence simple d’une série entière est un disque au bord près . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Structure vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Produit de deux séries entières . . . . .

convergence de la série entière proposée dans chacun des cas suivants : n n 1. ∑+∞ n=1 (ln n) z √ n n 2. ∑+∞ n=1 ( n) z 2 n 3. ∑+∞ n=0 (ln(n!)) z 4. ∑+∞ n=1 5. ∑+∞ n=1 6. ∑+∞ n=1 7. ∑+∞ n=0 1 2 ch 1n + cos 1n n C2n n nn z (ln(n!))a n z n!b n a n 1+bn z , (a, b) n4 n z ∈ (R∗+ )2 Correction [005745] Exercice 2 Calculer les sommes suivantes dans leur intervalle ouvert de convergence après avoir déterminé le rayon de convergence de la série proposée.

limn→∞ n sin(1/n) = 1, et la série est grossièrement divergente. 2. Par croissance comparée, on a limn→∞ un = +∞, et la série est grossièrement divergente. On pouvait aussi appliquer le critère de d’Alembert. 3. On a : n2 un = exp 2 ln n − Il résulte de lim∞ ln n √ n √ √ ln n n ln 2 = exp − n ln 2 − 2 √ n lim n2 un = 0, . = 0 que n→∞ et par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. 4. Puisque ln(1 + x) ∼0 x, on obtient un ∼+∞ et la série est donc divergente. 5. En

positifs Dans le cas où la suite (un )n∈N et à valeurs positives, la suite (Sn )n∈N des sommes partielles associées est croissante et deux cas de figure peuvent se produire : – soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ; – soit cette suite n’est pas majorée et lim Sn = +∞, ce qui peut se noter n→+∞ +∞ un = +∞. n=0 On a donc le résultat suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles

est n est divergente. Observer que, lorsque = 1 , on ne peut rien Exercice 5 Soit (un ) une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la série Montrer que nun → 0 . ∑u n ≥0 n converge. Exercice 6 Soit (un ) une suite de réels positifs et vn = nature. un . Montrer que 1 + un ∑u n et ∑v n sont de même Exercice 7 Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. u a) Pour tout n ∈ » , on pose vn = n . Montrer que ∑ un et ∑ vn sont de

PROBLÈME 1 Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour k20 k=n+l n E N et on se propose d’étudier la série c Z?,(x). n20 PARTIE 1.1. On suppose que uk (x) = (- l)k Xk, où x E R. 1 1.1.1. Déterminer l’ensemble Z des x E R tels que la série c (- l)kxk converge et pr6ciser sa k20 somme s (- l)knk pour x E Z. k=O 1.1.2. En supposant que x E Z, expliciter R,(X), montrer que la série xR,(x) n20 converge et calculer

BAC Série S - Oraux | | |Sujet n° 1 |Probabilités |2003 | | |Fonctions | | 1.   Soit f la fonction définie sur ]0 ;+[/ {1} par f(x) = - ))) et C sa courbe représentative a) Montrer que f(x) = - et calculer la limite de f en + et en o. b) Montrer