Théorème d'Abel

des maths » atteignait très probablement le double. En école, j’ai aidé de nombreux élèves de collège et lycée via une société réputée de soutien scolaire. Après avoir vaguement été testé sur mon niveau (je me souviens de la question sur le fameux théorème de Pythagore, test un peu léger pour connaître l’aptitude d’une personne à aider un élève en Terminale S spé Maths… ), j’ai pu accompagner des jeunes de toute classe, niveau collège et surtout lycée, et les faire progresser en Mathématiques. À présent

calcul des prédicats 17 7 Distributivité de la quantification universelle sur la conjonction et de la quantification existentielle sur la disjonction 17 8 Formes prénexes 18 9 Formes de Skolem 20 10 Formes clausales et théorème de Herbrand 21 11 Le mécanisme de Prolog 23 2 Ce cours a été rédigé assez rapidement, merci de me signaler les erreurs, pour les versions ultérieures. 1 Introduction Le calcul des propositions est bien trop limité pour décrire

sommets il y a toujours une arête. On appelle Kn,m le graphe à n + m sommets tel que n de ceux-ci soient chacun reliés à tous les m autres et qu’il n’y ait aucune autre arête. Par exemple, le graphe précédent était K3,3 . Et on a un super-théorème : Théorème 7. (Kuratowski) Un graphe est planaire si et seulement si aucun de ses sous-graphes n’est K5 ou K3,3 La démonstration n’est vraiment pas facile. Nous connaissons maintenant les graphes complets, regardons à l’inverses des graphes avec

=⇒ −1 ≤ 1 + 2 sin(x) ≤ 3 √ −1 1 + 2 sin x 3 √ ≤ √ √ (car 1 + x > 0) ≤ =⇒ 1+ x 1+ x 1+ x  −1  √ =0  lim √ √ x→+∞ 1 + x 2. On a : lim x = +∞ =⇒ lim 1 + x = +∞ =⇒ 3 x→+∞ x→+∞   lim √ =0 x→+∞ 1 + x Ainsi, d’après le théorème des gendarmes, lim f (x) = 0. x→+∞ Exercice 11. On va montrer par l’absurde que ∀x ∈ R+ on a f (x) ≥ 0 : ainsi on suppose qu’il existe a ∈ R+ tel que f (a) < 0. Comme f est décroissante sur ]0; +∞[ donc aussi sur ]a; +∞[, ainsi pour tout x

Corrigé IE suites Exercice 1 1. (un) est une suite arithmétique de premier terme u0 =−5 et de raison r =7. 1) * u1 = u0+r =−5+7 =2. * u2 = u1+r =2+7 =9. 2) La suite est arithmétique donc un= u0+nr =−5+n×7 = 7n−5. d'où u40 = 7×40−5 = 280−5 = 275. 2. (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 3 et de raison q = −2. 1) * u1 = qu0 = −2×3 = − 6. * u2 = qu1 = −2×(−6) = 12. 2) La suite est géométrique donc un= u0qn un = (−2)n ×3. d'où, u10 = (−2)10 ×3 =1 024×3 = 3 072. 3)La somme des 10

suite 1/n tend vers 0 quand n → ∞, la suite un est convergente si et seulement si la suite (−1)n l’est. De plus, dans le cas où elles sont toutes les deux convergentes, elles ont même limite. Cette affirmation provient tout simplement du théorème suivant Théorème : Soient (un ) et (vn ) deux suites convergeant vers deux limites et . Alors la suite (wn ) définie par wn = un + vn est convergente (on peut donc parler de sa limite) et lim wn = + . De plus, il n’est pas vrai que toute suite convergente

⎡⎣e−σ t f (t ) ⎤⎦ = F ( p + σ ) (translation de la transformée) (I.7) LI [ f (t ) * g (t ) ] = F ( p )G ( p ) (convolution) (I.8) lim pF ( p ) = lim f (t ) p →∞ t → 0+ (théorème de la valeur initiale) (à condition que ces limites existent) (I.9) 5 6 TRANSFORMEE DE LAPLACE lim pF ( p ) = lim f (t ) p→ 0 t →∞ (théorème de la valeur finale) (I.10) (à condition que ces limites existent) F ( p) ⎡∞ ⎤ (périodification) LI ⎢ ∑ f (t − kT )ε (t − kT ) ⎥ = − pT ⎣ k =0 ⎦ 1− e (I.11) Exemple I

CHAPITRE 1 : Calcul des propositions et des prédicats I – Calcul des propositions 1. Une proposition unique p Ex : - x est un Réel - Il fait beau. On associe à p une valeur de vérité p vraie ou p fausse (noté 1 ou 0). Et on dresse une table de vérité. p ¬p 0 1 1 0 _ ¬p : La négation de p, dit '' non p '', se note ¬p ou p Remarque : ¬(¬p)=p 2. Résultantes de deux propositions p et q a) Avec la conjonction

probabilité de transition de l’état i à l’état j en m étapes. On note P (m) la matrice d’ordre r dont l’élément situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j vaut pij(m ) . 3 Remarque : P (1) = P et P (0) = I (la matrice identité). 70 Théorème 1 : ∀m≥ 0, la probabilité de passage de i à j en m étapes est égale à l’élément (i, j) de la matrice P m. Preuve. La démonstration se fait par récurrence sur m en appliquant la formule des probabilités totales. ■ Ce résultat est un cas particulier

de la suite à partir d'un certain rang. Quandtend vers, «tend vers» équivaut à «… Siconverge vers, les suitesconvergent … Définition 5 Siconverge vers, le réelest unique et appelé limite de la suite On note alors Exemples ; Théorème 1 Toute suite convergente est bornée. Démonstration (éventuellement proposée en cours) Exercice 11 Démontrer que la suitedéfinie surparconverge vers Exercice 12 Soitla suite définie par Montrer que l'on peut trouvertel que(où) En déduire que