Théorème de convergence monotone

librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. EQUATIONS DIFFERENTIELLES (DEUXIEME ANNEE) PLAN I : Généralités 1) Equation différentielle du premier ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III

21 22 22 25 25 26 26 26 4 Barycentres 4.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Historique (par Frédéric D EMOULIN) . . . . . . . . . . . . 4.3 Barycentre de deux points pondérés . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Théorème d’existence et définition . . . . . . . . . 4.3.2 Autres caractérisations du barycentre . . . . . . . . 4.3.3 Bilan des propriétés caractéristiques du barycentre 4.3.4 Autres propriétés du barycentre . . . . . . . . . . . 4.3.5 Isobarycentre . .

Si m = - 4 ou m = 2 ou - 1 < m < 1 : une solution. Si - 4 < m ഛ - 1 ou m = 1 ou 2 < m < 2 : deux solutions. Si 1 ഛ m ഛ 2 : trois solutions. 26 1. x f(x) -2 - 2 3 2 3 1 0 ª 2,09 -3 ª - 0, 09 On applique ensuite le théorème des valeurs interméÈ 2˘ È 2 ˘ diaires sur Í- 2 ; ; 1˙. ˙ et Í3˚ Î 3 ˚ Î b. a ; 0, 62 et b ; - 1, 62. 28 1. L’équation semble avoir deux solutions. 2. a. f est continue sur [- 3 ; 3] en tant que fonction polynôme. b. Pour tout x de [- 3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Théorème des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Inégalité de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Théorème des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83 83 84 87 89 6 Mystification numérique 7 Petites histoires, anecdotes 7.1 Les histoires de VON NEUMANN . . . 7.2 ... Et les autres. . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 L’histoire de 2 + 2 = 5 . . . . . . . . . . . 7.4 La preuve ultime du Dernier Théorème de 8 Paradoxes 8.1 Les paradoxes de Zénon . . . . . . . 8.2 Le paradoxe des anniversaires . . . . 8.3 L’interrogation surprise . . . . . . . 8.4 La vie sur Ganymède . . . . . . . . . 8.5 2 = 1, ou 1/0 . . . . . . . . . . . . . 8.6 Le développement

développée par Markowitz et à une de ses extentions, le théorème des deux fonds. Dans la première section est présenté le cadre économique de cette théorie du portefeuille. Puis la notion de portefeuille efficient est exposée. Les mécanismes de gestion du risque implicites à l’approche de Markowitz sont ensuite précisés. L’ensemble des opportunités du marché, la frontière des portefeuilles efficients, est ensuite caractérisé. Enfin, la théorème des deux fonds, dont le corollaire est l’optimalité de la

− p). 1 − an+1 n+1 . Pour |a| < 1, limn a = 0, 3. Si a = 1 on a, pour tout n, n ak = k=0 1−a 1 k donc la série géométrique est alors convergente avec . Par propriété de k≥0 a = 1−a dérivation des séries entières dans leur intervalle ouvert de convergence, on en déduit d 1 1 d2 1 2 kak−1 = = et k(k − 1)ak−2 = 2 = . k≥2 k≥1 2 da 1 − a (1 − a) da 1 − a (1 − a)3 2 2 4. Si pour tout k≥1 on a P(X = k) = p(1 − p)k−1 , alors k≥1 P(X = k) = p 1 p k≥0 (1 − p) = 1. Ceci

. 88 e 34 Types de convergence 90 34.1 Convergence en Loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 34.2 Convergence presque sˆre et convergence en probabilit´ . . . . . 95 u e 34.3 Convergence en moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 35 Th´or`mes de convergence e e 107 35.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 35.2 Th´or`me central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 e e 35.3 Convergence de la fonction de r´partition

Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Deux r´sultats importants sur les espaces de Hilbert e 7.6 Bases hilbertiennes et espaces de Hilbert s´parables . e 7.7 La convergence faible dans les espaces de Hilbert . . 7.8 Application ` l’espace L2 et aux s´ries de Fourier . . a e p . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8.1 Les espaces L 7.8.2 S´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . e 8 Op´rateurs compacts sur les

bornée. Réciproque ? 3. Montrer que si la suite (un )n∈N est croissante alors la suite (vn )n∈N l’est aussi. Correction [005220] Exercice 2 *** Soit (un )n∈N une suite réelle. Montrer que si la suite (un )n∈N converge au sens de C ÉSARO et est monotone, alors la suite (un )n∈N converge. Correction [005221] Exercice 3 **IT Pour n entier naturel non nul, on pose Hn = ∑nk=1 1k (série harmonique). 1. Montrer que : ∀n ∈ N∗ , ln(n + 1) < Hn < 1 + ln(n) et en déduire limn→+∞ Hn . 2. Pour n entier naturel