Théorème des nombres premiers

questions de cours 6 points 1) a) Théorème de Bezout : « Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe deux entiers relatifs u et v tels que : au + bv = 1 » b) Il suffit de trouver une combinaison linéaire de a et b judicieuse pour éliminer n : (−7)a + (9)b = −63n − 35 + 63n + 36 = 1 Il existe donc un couple (−7; 9) tel que −7a + 9b = 1 d’après le théorème de Bezout, les nombres a et b sont premiers entre eux, pour tous n 2) a) Théorème de Gauss : « Soit a, b et c

Contenu Eléments d’arithmétique et structures algébriques Notion de Logique ; Structures algébriques ; Polynômes et fractions rationnelles. Relations d’équivalences ; Ensemble quotient, construction des anneaux Z, Q. Divisibilité. PPMC et PGCD. nombres premiers dans Z, étude de l’anneau Z/mZ. Algèbre linéaire et calcul matriciel - Espaces vectoriels. Famille libres famille génératrices, notion de base. Applications linéaires et matrices, Calcul matriciel et Rang d’une matrice. Changement de bases. -

peut se placer sur le barreau d'une échelle, et si l'on peut passer d'un barreau quelconque au suivant, alors on peut gravir tous les barreaux, à partir du barreau initial. 2. Le principe Propriété 1 Pour montrer qu'une propriétédépendant d'un nombre entier naturelest vraie pour tout entier naturel (entier naturel donné), on procède en trois étapes : 1. Initialisation : on montre que la propriétéest vraie. 2. Hérédité : on suppose que la propriétéest vraie pour un rangquelconque fixé (hypothèse

Théorème de Pythagore Biographie : Pythagore , philosophe (il sera d’ailleurs le premier penseur grec a s’être qualifié lui-même de philosophe), mathématicien et scientifique né aux environs de 580 av. J.-C. à Samos, une île de la mer Égée ( au Sud-est de la ville d'Athènes) et mort vers 497 av. J.-C., à l'âge de 83 ans à Métaponte, en Italie. Pythagore durant son adolescence participe aux Jeux olympiques. Il remporte toutes les compétitions de pugilat[] (sport de l'Antiquité comparable

résoudre son problème ? La réponse est bien sûr négative : en eet, il peut toujours se poser les questions suivantes : 1. aurait-on obtenu le même pourcentage en prélevant un autre échantillon ? (autrement dit, la proportion inquiétante relevée dans le premier échantillon est-elle due à de la malchance ?) 2. l'analyse de 100 yaourts sur le million produit est-elle susante ? 3. quelle conance peut-on accorder au fait que l'analyse d'un échantillon de 100 yaourts ait conduit à une proportion de 2% de produits

indicatif. Durée : 1h – Calculatrice interdite. Traiter les exercices dans l’ordre de votre choix. Décembre 2009 Exercice 1 – 5 points Justifier que 82002 + 2 est divisible par 11. Exercice 2 – 5 points 1. Enoncer le théorème de Fermat. 2. En déduire que pour tout nombre premier p, a p ≡ a ( p ) , où a est un entier naturel. 3. Prouver que ∀a ≥ 2, a 7 − a est divisible par 42 Exercice 3 [France 2009, 10 points] Corrigé du test n°2 Exercice 1 – 5 points 8 ≡ 8 (11) 1. Nous savons que

Chapitre d'arithmétique 1 Multiple et diviseur d'un nombre Définition Soient a et b deux entiers relatifs. S'il existe un entier relatif k tel que : a = k⋅b - On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. - On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a. Théorème Soient a, b et c des entiers relatifs quelconques. Si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire de b et c: u⋅b+v⋅c, où u et v sont des entiers relatifs. En particulier, a divise b+c et b-c

. . . . Théorème de Cantor-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formule du crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème chinois pour les groupes abéliens finis . . . . . . . . . . . . . Inversion de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Morphismes de Sn dans × . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Critère de conjugaison des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . Théorème de Wilson

Math révisions 1) Nombres entiers et rationnels : Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls Les entiers relatifs sont les entiers négatifs, positifs, ou nuls (c’est-à-dire tous les entiers naturels et leurs opposés) Les décimaux sont les nombres s’écrivant sous la dorme a/10^n avec a et n entiers relatifs. (ce sont les nombres à virgule = partie décimale finie) Les rationnels sont les nombres s’écrivant sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul Les irrationnels

apparaître. Toujours penser à bien suivre les prérequis donnés par l'énoncé (qui ne sont pas nécessairement ceux donnés en classe pour des raisons de progression du cours)… L'auteur fournit une cote d'amour (qui n'engage que lui ! ) des démonstrations de théorèmes à connaître ou à maîtriser. ♥ ♥♥ ROC peu vraisemblable : il suffit d'avoir compris le principe ROC vraisemblable : il faut bien maîtriser le principe et savoir retrouver la méthode ♥♥♥ ROC probable : démonstration à savoir faire les yeux fermés