Triangle rectangle

sont orthogonaux, − − − → −→ AB et AD le sont aussi. Donc ABD est rectangle en A. c. On a BC2 = 42 + (−2)2 = 16 + 4 = 20 ; CD2 = 42 + 82 = 16 + 64 = 80 ; BD2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100. On a 100 = 80 + 20 ⇐⇒ BD2 = CD2 + BC2 ⇐⇒ BCD est un triangle rectangle en C d’après la réciproque du théorème de Pythagore. Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil A. P. M. E. P. d. Les deux triangles rectangles BCD et BAD ont la même hypoténuse [BD] : les quatre points A, B, C

1/7 Exercices sur les triangles et parallèles Exercices 1 Sur la figure ci-dessous les droites (AS) et (BR) sont parallèles. Les longueurs données sont en centimètres. (Les longueurs ne sont pas respectées sur la figure). Calcule la longueur des segments [AS] et [TB]. T S TS = 3 cm TR = 4 cm TA = 2,4 cm BR = 6 cm R A B Exercice 2 S On considère la figure ci-contre dans laquelle les droites (AB) et (CD) sont parallèles. De plus SA = 3 cm, AB = 4 cm et CD = 5,5 cm.

Page 3 sur 8 Activités géométriques : 12 points Exercice 1 : 1. Soit triangle ABC tel que : AB = 7,5 cm ; BC = 10 cm et AC = 12,5 cm. C F G A B 2. AB2 + BC2 = 7,52 + 102 = 156,25 AC2 = 156,25 On a donc AB2 + BC2 = AC2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3. a) voir dessin ci-dessus. b) voir dessin ci-dessus. 4. Dans le triangle ABC rectangle en B, les points C, G, B ainsi que C, F, A sont alignés et dans le même ordre

1.b) On veut trouver la valeur de x pour que AC²+BC²=AB² d’après le théorème de Pythagore. AC²+BC²=AB² x²-2x+5+x²+2x+5=20 2x²+10=20 2x²=10 x²=5 x= √(5) , x= -√(5) Les valeurs de x pour lesquels le triangle ABC est rectangle en C sont x= √5, x= -√5 2 .a) Pour factoriser x²-2x-15 on utilise deux identités remarquables : *a²-2ab+b²=(a-b)² et *a²-b²=(a+b)(a-b) x²-2x-15=(x-1)²-16 x²-2x-15=(x-1)²-4² x²-2x-15=(x-1+4)(x-1-4) x²-2x-15=(x+3)(x-5) 2.b)

droites ne sont pas concourantes) Exercice 6 (5,5 pts) 1°) et 2°) Construction 3°) AB² = 13² = 169 AC² +BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 AB² = AC² + BC² Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 4°) ABC est un triangle rectangle en C donc les droites (AC) et (BC) sont perpendiculaires et la droite (RT) est aussi perpendiculaire à la droite (AC) donc les droites (RT) et (BC) sont parallèles. 5°) Les droites (RC) et (TB) sont sécantes en A, les

C HAPITRE 4 C OURS : T RIGONOMÉTRIE Extrait du programme de la classe de troisième : C ONTENU Triangle rectangle : relations trigonométriques C OMPÉTENCES EXIGIBLES Connaître et utiliser dans le triangle rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle aigu et les longueurs de deux côtés du triangle. Utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs approchées : – du sinus, du cosinus et de la tangente d’un angle aigu donné – de l’angle aigu dont on

affirme : « En Europe, l’écart des sorties précoces des jeunes de 18 à 24 ans selon les pays est très grand ! » Calculer la caractéristique statistique qui permet de confirmer les propos d’Ernest. Exercice 2 « Le topographe » Géométrie Triangle rectangle et relations trigonométriques. Recenser les informations. Confronter l’information disponible à ses connaissances. Organiser les informations pour les utiliser : construire en respectant des conventions un schéma. Aménagement d’un quartier

homologues de longueurs proportionnelles, alors la troisième droite est // au deux premières. Elle est utilisée pour prouver que 2 droites sont //. Il suffira de prouver l’égalité des rapports. F. Rappel : Théorème de Pythagore : Dans tout triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. G. Qu’est-ce que la quatrième proportionnelle à 3 nombres ? La quatrième proportionnelle à 3 nombres  a, b et c est le nombre x tel que a = c

Si alors 2.4) Argument d’un nombre complexe (Parenthèse trigonométrique) On se place dans un triangle rectangle dont un des angles est l’angle α, le rapport est le cosinus de l'angle , noté . Remarque: Cette notion est bien définie, elle ne dépend pas du triangle rectangle dans lequel on se place mais uniquement de . On place A'' et B'' tels que OA''=HA' et OB''=HB' ( les triangles OA''B" et HA'B' sont semblables). et par Thalès . Et On se place dans un cercle de centre O et de

300. La somme due est 300 euros. 2 a) V = 100(10 – x). b) V = 500 pour x = 5. 3 1. Le théorème de Thalès appliqué dans le triangle DCA nous donne : DI = DJ = IJ , d’où x = IJ = DJ a AC DA DC AC a avec AC = a12 (en effet, AC2 = AD2 + DC2, d’où AC2 = 2a2). On en déduit que IJ = x12 et DJ = x. Le théorème de Pythagore appliqué dans le triangle rectangle isocèle DHI nous donne la relation suivante : 2 DH2 + IJ = DI2. 2 x2 x12 2 2 = x2 – D’où DH = x2 – = 1 x2 2 2 2 x12 DH