Calculer G X Et étudir Son Signe Suivant Les Valeur

e L’objectif de ce cours est d’aborder certains aspects de la commande num´ rique des syst` mes et ne se veut en aucun cas e e exhaustif. Les pr´ -requis concernent des aspects math´ matiques tels que la manipulation de fonctions et de suites, le calcul e e int´gral et les s´ ries, la transform´ e de Laplace; ainsi qu’une bonne connaissance de l’Automatique des syst` mes lin´ aires e e e e e a temps continu. Partant de proc´ d´ s physiques mod´ lis´ es par des fonctions de transfert en p (variable

limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions de deux variables 2 Suites et séries numériques 1. Généralités 2. Suites numériques calculables 3. Suites un+1 = f (un ) 4. Séries numériques 5. Suites définies implicitement 3 Calcul intégral 1. Primitives 2. Intégrale définie 3. Intégrales généralisées 4. Séries et intégrales Algèbre linéaire 4 Systèmes linéaires Calcul matriciel 1. Systèmes linéaires III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 3. Un exemple

sur la tige en A et B sont toutes deux dirigées vers le bas. En physique vous avez vu que la tige est en équilibre lorsque le support est placé en un point G caractérisé par :  G est sur la tige AB   G est entre A et B  GA = 2GB  Notons que ces trois conditions peuvent se traduire par : GA = – 2 GB ce qui équivaut à GA + 2GB = 0. On dit que G est le barycentre des points pondérés ( A, 1 ) et ( B, 2 ). Sur le schéma ci-contre, AB étant toujours de masse négligeable, on suspend 1 Kg en A par l’intermédiaire

de Math´matiques e Sciences Economiques et de Gestion Diaraf SECK Professeur Titulaire FASEG Idrissa LY Maˆ ıtre de Conf`rences FASEG e Ann´e Universitaire 2012-2013 e Table des mati`res e 1 Fonctions de plusieurs variables 1.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 1.2 Notions de norme et de distance . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Ensembles ouverts et ferm´s . . . . . . . .

d’un constituant i est défini comme étant l’enthalpie libre molaire partielle de i gi , soit : dG mi = gi = dn i T, P Il s’agit donc d’une grandeur molaire partielle liée à l’enthalpie libre G. Nous pouvons également exprimer la relation entre le potentiel chimique et l’enthalpie libre sous la forme : n i mi G= i Relation connue sous le nom d’identité d’Euler. Quelle est la relation de Gibbs-Duhem ? Sachant que l’expression différentielle de l’énergie libre s’écrit : dG = V d P − SdT + i

+ 4 3 = 100. Il semble donc que c n = en2 . ᕢ On a c = 1 et 1 n 2 (n + 1)2 12 (1+ 1)2 » est vraie = 1 donc la proposition « c n = 4 4 pour n = 1. Supposons qu’elle le soit pour un rang n = k et montrons qu’elle l’est alors k 2 (k + 1)2 au rang suivant n = k + 1. Autrement dit, supposons que c k = et 4 (k + 1)2 (k + 2)2 . On a : montrons sous cette hypothèse que c k +1 = 4 c k +1 = c k + (k + 1)3 = k 2 (k + 1)2 k 2 (k + 1)2 + 4(k + 1)3 + (k + 1)3 = 4 4 (k + 1)2 (k 2 + 4(k + 1)) (k + 1)2 (k 2

dans des exercices variŽs de calculs, de dŽmonstrations, de recherches de lieux gŽomŽtriques et de constructions gŽomŽtriques. L'Žtude des configurations planes sera poursuivie. Pour la gŽomŽtrie de l'espace, on passe ˆ un niveau modeste d'Žlaboration apr•s l'approche expŽrimentale qui en a ŽtŽ faite au premier cycle. Ë ce propos, tout dŽveloppement axiomatique est ˆ Žviter. 3)ÊConcernant les activitŽs numŽriques, on am•nera l'Žl•ve ˆ ma”triser les mŽthodes de calcul et ˆ les rŽinvestir dans des

On note X la variable aléatoire indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on obtient pour la première fois un double six (c’est-à-dire où les deux dés donnent six). 1) Calculer la probabilité d’obtenir un double six si l’on lance une fois les deux dés. 2) Reconnaître la loi de X et la préciser. 3) Calculer l’espérance et la variance de X. 4) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que l’on obtienne un double six, et qui affiche la valeur prise par X. Partie

lináire. 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) On va étudier l’ensemble des solutions de ce systèmes et le problème de Cauchy associé. Proposition 1.2.1 Soient Y1 , ..., Yk k solutions de Y ′ = AY . Soit t0 ∈ R. Elles sont linéairement indépendentes si et seulement si Y1 (t0 ), ..., Yk (t0 ) sont k vecteurs linéairement indépendents. 1. Soit A diagonalisable. Cela veut dire que A admet n vecteurs propres Vi linéairement indépendents, associés à n valeurs propres λi ∈ K, non nécessairement distinctes ;

Énergie interne et entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Autres fonctions rencontrées . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Notion de potentiels thermodynamiques . . . . . . . . . . . 2.4 Caractère extensif des fonctions U, S, H, V, F et G . . . . . 2 Le potentiel chimique du corps pur 1 Description thermodynamique d’un corps pur . . . . . . . . 1.1 Quantité de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Grandeurs molaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Variables d’état .