Charles Fourier

F - Optique de Fourier, filtrage d’images (détramage et strioscopie) I - Montage : Il comporte 3 parties : le banc de mise en forme du faisceau (réalisation d’un faisceau parallèle, large et homogène), l'objet d'étude (dans l'exemple ci-dessous, une onde ultrasonore se propageant dans un liquide), et l'ensemble imagerie – filtrage. Voici le schéma de principe, utilisant comme source un laser : émetteur d'ultra-sons objectif de courte focale He-Ne « pinhole » (trou de très faible

développement en série de Fourier De fonctions périodiques rencontrées en électricité. 1. On considère un entier naturel n strictement positif . Montrer que : [pic] et [pic]. 2. On considère la fonction[pic]définie sur [pic], périodique de période 2 , telle que : [pic] a. En utilisant le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer la courbe[pic]représentative de la fonction[pic]sur l’intervalle [pic]. b. On appelle[pic]la série de Fourier associée à la fonction[pic]

ALTERNATIVE "CARREE" DE FREQUENCE f = 600 Hz Alimentation indirecte Un générateur délivre une tension u(t) alternative "carrée" de rapport cyclique [pic] comme le montre la figure ci-contre). Cette tension a pour développement en série de Fourier : [pic] On appelle harmonique 1 ou fondamentale la tension : [pic] avec [pic]Hz et harmonique 3 la tension : [pic] et ainsi de suite. 1. Calculer les valeurs efficaces V1 et V3 des tensions sinusoïdales v1(t) et v3(t). Comparer V1 avec

d’un
processus
 aléatoire
x(k,
ξ).
Tranche
l
notée
xl(k,
ξ)
(l=0,
1,
…,
L‐1)
 2. Multiplier
(fenêtrer)
chacune
des
tranches
à
l’aide
d’une
fenêtre
à
 transitions
douces
(Hanning,
Hamming,
Kaiser,…)
notée
ω(k,N)
 3. Calculer
les
L
transformées
de
Fourier
F{xl(k,
ξ,N)ω(k,N)}
de
ces
L
 tranches
fenêtrées
de
N
points
 4. Evaluer
les
L
périodogrammes
fenêtrés
associés
 5. Calculer
la
moyenne
des
L
périodogrammes
fenêtrés
 
 Fonction
pwelch()
de
MATALB
:
 [Phi_x,
f]
=
pwelch(x,
w,
nb_ovlp,
NFFT,
1,
‘twosided’)
;


développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2 n=1 1 . En voici n2 a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3 y = 2 1 f( x) −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 1 2 3 4 5 6 f est 2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout réel x, la série de Fourier de f converge vers f(x). b) Calcul des coefficients de Fourier de f. f est paire

fonctions de carré moyennable et comparables. I.G - Soit N P = {x : x ( t ) = k=1 ∑ ck e iω k t N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P est stable par produit de fonctions, et que l’application ( x, y ) a définit un produit scalaire sur P . En particulier, pour x = I.H - Soit une suite x n ∈ I.H.1) I.H.2) k=1 ∑ ck eω N

à t ∞ ? - 1 - Quadripoles-Exercices.doc Exercice 5 Un quadripôle reçoit en entrée un signal v = ⎮Vm.sin(wt)⎮. Il est du premier ordre passe bas, d’amplification statique 1 et de fréquence de coupure à –3dB fc. La décomposition en série de Fourier du signal de sortie u est : u = U0 + ∑k=1∞ Uk.sin(k.w0.t). E5.1 Calculer U0 . E5.2 Calculer w0. E5.3 Si fc = 50Hz, calculer la valeur efficace du fondamental de u. Exercice 6 Etude en régime permanent. Rg eg = Eg.sin(wg.t) Eg R L C v E6.1 Exprimer

Interférométrie Lumière Blanche Spectroscopie par TF I (Δ) = +∞ −∞ ∫ R(u )[1 + m cos 2π (σ 0 + u )Δ] du • Le balayage en DDM d’un interféromètre donne accès à la Transformée de Fourier cosinus du profil spectral de la source lumineuse qui l’éclaire • On enregistre l’interférogramme I(Δ) et à l’aide d’une transformée de Fourier inverse, on remonte au spectre de la source Photonique 2A – Interférométrie Lumière Blanche Multiplexage de Cohérence 2.5 2 DEL 1.5 I/I0 1 0.5 0 0 5 10 15 20 25

+ δ 2 sin(ω m2 t )+K+δ n sin ω m t . n ( ( )) d'abord nécessaire de calculer la transformée de Fourier de e jδ sin(ω mt ) , soit :  jδ sin (ω mt )  TF  e =   δ (ω − k ⋅ ω m ) ⋅ J k (δ ) k =−∞ +∞ Nous avions vu que, pour un signal FM modulé par un signal sinusoïdal, il était tout ∑ Dans le cas de plusieurs signaux modulant, il faut calculer la Transformée de Fourier de : A. Dupret 2-23 IUT de Villetaneuse GTR 2ème année : Télécommunications n j ∑ δ i sin

Montrer que f est continue sur R, paire et 2π-périodique. π c) Calculer l’intégrale : I = 0 f(x) dx. π d) Calculer, pour p ∈ N∗ , l’intégrale Ip : 0 +∞ f(x) cos(px) dx. e) La série cos(nx) est-elle le développement en série de Fourier de f ? n2 n=1 1 2 - Soit α ∈]0, π[ un réel fixé. Dans cette question et la suivante, on se limite aux valeurs de x du segment [α, π]. n a) On pose sn (x) = k=1 sin(kx). sin nx sin 2 (n + 1)x 2 est une constante que l’on précisera. Montrer