Factorisation des polynômes

Note de cours de MAT009 Mise à niveau pour Mathématiques 536 Éric Brunelle et Dominique Goyette Table des matières Introduction Chapitre 1. Quelques rappels 1. Les ensembles 2. Arithmétique sur les nombres réels 3. Les polynômes Chapitre 2. Équations et inéquations 1. Les équations 2. Les fractions algébriques 3. Intervalles et inéquations Chapitre 3. Étude graphique de fonctions Introduction 1. Éléments de l’étude des fonctions 2. Opérations sur les fonctions 3. Rôle des paramètres a, b, h

I, la composée de u suivie de f est la fonction notée f ° u définie sur I par : f ° u x  = f  u  x   11 II) FONCTIONS USUELLES Fonction affine Les fonctions s'écrivant sous la forme f(x)=ax+b sont appelées fonction affine ou fonction polynôme de degré 1 La représentation graphique de la fonction affine f : x  ax b est une droite d'équation y =ax  b . a s'appelle le coefficient directeur, et b est l'ordonnée à l'origine. y 6 5 4 3 2 1 b=5 Cette droite a pour équation y=-2x+5

du système linéaire et sur le second membre. Finalement, au moyen des opérations décrites ci-dessus, on a transformé le système linéaire 1 1 Ax = b en U x = T32 (− )T31 (1)b, oé U = T32 (− )T31 (1)A 2 2 est une matrice triangulaire supérieure. Factorisation LU Tout va donc très bien pour ce système, mais supposons maintenant qu’on aitàrésoudre 3089 systèmes avec la méme matrice A mais 3089 seconds membres b différents9 . Il serait un peu dommage de recommencer les opérations ci-dessus 3089 fois, alors

. . . . . . . . . . . 9 Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . . . . 10 9 13. Réduction des Endomorphismes 13.1. 13.2. 13.3. 13.4. 13.5. 13.6. Valeurs propres et vecteurs propres . Polynôme caractéristique . . . . . . . Diagonalisibilité . . . . . . . . . . . . . Diagonalisibilité et diagonalisation . . Triangularisation (ou trigonalisation) Puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.8 Analyse : graphe de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.9 Analyse : dérivée et équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.10 Analyse : factorisation de dérivées (avec les règles) . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 Analyse : la règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.12 Analyse : comportement des fonctions irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 15

pour limite l l' l x l' l≠0 +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ suivant les signes +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ suivant les signes 0 +∞ ou -∞ pas de résultat général +∞ - ∞ : Factorisation du terme "dominant". (terme de plus haut degré pour un polynôme) ∞ : Factorisation des termes "dominants" puis simplification. ∞ 0 : Factorisation d'un terme tendant vers 0, puis simplification. 0 0 x ∞ : peut en général se ramener à l'une des formes ∞ ou 0 . 0 ∞ Lorsque des racines carrées interviennent et que les

mal à démarrer ? Corrigés des exercices Z 231 231 233 236 238 11. Notions sur les fonctions de deux variables réelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 169 169 172 174 176 17. Polynômes, fractions rationnelles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 247 248 251 257 258 12. Compléments de calcul intégral Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés

n = exp 2iπ n n−1 k k=0 = exp(i(n − 1)π) = (−1)n−1 (n − 1) 2 On peut aussi retrouver cette relation en considérant que T est la somme des racines d’un polynôme bien construit T = P n = (X − 1)n − X n = −nX n−1 + n(n − 1) n−2 X + ··· 2 Exercice 21 : [énoncé] 2ikπ Notons ωk = e n avec k ∈ Z. Par factorisation d’exponentielle équilibrée kπ |ωk − 1| = 2 sin n Alors n−1 n−1 Exercice 23 : [énoncé] On a (1 − ω)S = n−1 n n−1 (k + 1)ω k − k=0 k=1 kω k = k=0 ω

34 12 Suites récurrentes linéaires 35 13 Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments

continues Dérivation, développements limités Intégration Courbes paramétrées 85 119 139 189 221 Partie 3 Algèbre 10 Algèbre générale 11 Arithmétique 12 Algèbre linéaire 13 Algèbre linéaire en dimension finie 14 Matrices 15 Polynômes 16 Espaces euclidiens Index 239 251 261 277 301 339 361 393 9782100547678-Fresl-Avt.qxd 8/07/10 12:27 Page IV Avant-propos Cet ouvrage s’adresse aux élèves de première année de classes préparatoires scientifiques. Il