Factorisation des polynômes

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse ............

Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation

1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

suffisamment dérivables) au voisinage d'une abscisse x0 : Lorsque x est proche de x0, on a : ƒ(x) ƒ(x0) + ƒ '(x0)(x − x0) + ƒ"(x0) ( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) 3 ( x − x0 ) n + ƒ'"(x0) + ... + ƒ(n)(x0) 2 6 n! (Si, si ! Le membre de droite est un polynôme en x de degré n...) Dans cette formule, l'entier n s'appelle "l'ordre du développement de Taylor" et ƒ(n) désigne la dérivée nème de ƒ. 1. Utiliser la formule de Taylor à l'ordre n = 1 pour obtenir une approximation affine P1 de ƒ en x0 = 1. 2. Utiliser

Indice Maths 1re S, Bordas, 2011. [5] Beltramone, Jean-Paul, Déclic Mathématiques 1re S, Hachette Éducation, 2011. [6] Le Yaouanq, Marie-Hélène, Math’x 1re S, Didier, 2011. TABLE DES MATIÈRES 1 Le second degré - Équations et inéquations I Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . .

Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3/ Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 6 2 Polynômes du second degré 1/ Généralités sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2/ Polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8 9 3 Dérivation des fonctions 13 1/ Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Ensembles, applications Notions de logique Signes S , P Dénombrement — Formule du binôme Équations, inéquations Polynômes Manipulation des inégalités 1 1 5 9 12 18 22 25 29 31 32 42 47 53 56 61 61 66 71 76 82 85 85 87 98 104 107 109 109 Analyse 1 Étude de fonctions 1. Recherche de limites 2. Continuité 3. Calcul différentiel 4. Fonctions usuelles 5. Fonctions

. . . . . . 154 12.2 Approximation de la racine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5 13 Complexes et polynômes 13.1 Racines carrées d’un complexe . . . . . . . . . . 13.2 Positions des racines d’un polynôme . . . . . . . 13.3 Racines d’un polynôme à coefficients réels . . . 13.4 Contrôle du module d’une racine d’un polynôme 13.5 Théorème fondamental de l’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

l’ensemble solution S = − 2; 2 . d) x² + 3x –5 = 0 Ici, aucune factorisation évidente n’apparaît. On va donc utiliser la méthode générale basée sur le calcul du discriminant Δ. Δ = 3² – 4×1×(–5) = 9 + 20 = 29. Δ > 0 donc l’équation admet deux solutions x’ et x’’ : x′ = −3 − 29 −3 + 29 et x′′ = . 2 2 ⎪⎧ −3 − 29 −3 + 29 ⎪⎫ ; L’équation x² + 3x – 5 = 0 admet l’ensemble solution S = ⎨ ⎬. 2 2 ⎪⎩ ⎪⎭ e) x² + 2x – 8 = 0 Là non plus, aucune factorisation évidente n’apparaît. On va donc utiliser la méthode générale