Factorisation des polynômes

partie du problème, en utilisant les résultats ci-dessus, on a besoin de A et b tels que ⎡ 4 3⎤ b + A0 = (1,2)′ et AA′ = ⎢ ⎥ . Le vecteur est simplement b = (1,2)′. Afin de trouver ⎣3 9⎦ les éléments de A, plusieurs étapes sont à réaliser. La factorisation de Cholesky utilisée dans l’exercice 9 est probablement la plus simple. On pose y1 = 1 + 2x1. Ainsi, y1 a une moyenne 1 et une variance 4, comme demandé. On pose maintenant y2 = 2 + w1x1 + w2x2. La covariance entre y1 et y2 est 2w1, puisque x1

+∞ ou -∞ +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ Alors f x g ou (un x vn) a pour limite l x l' +∞ ou -∞ +∞ ou -∞ suivant les signes suivant les signes pas de résultat général +∞ - ∞ : Factorisation du terme "dominant". (terme de plus haut degré pour un polynôme) ∞ : Factorisation des termes "dominants" puis simplification. ∞ 0 : Factorisation d'un terme tendant vers 0, puis simplification. 0 0 x ∞ : peut en général se ramener à l'une des formes ∞ ou 0 . 0 ∞ Lorsque des racines carrées interviennent et que les

Proposition 1.2.3 Consid´rons deux nombres complexes z et z . On a les propri´t´s suivantes : e ee ii) |z| = |z|. i) |z| ≥ 0 et |z| = 0 si et seulement si z = 0. iii) |z|2 = zz = zz. Autrement dit, pour tout couple de r´els (x, y), on a la factorisation e x2 + y 2 = (x + iy)(x − iy). iv) Si z = 0, on a z −1 = z . |z|2 En cons´quence, (z)−1 = z −1 , et z = z −1 si et seulement si |z| = 1. e 2 k Les coefficients binomiaux Cn sont not´s e `n ´ k par certains auteurs et dans les pays anglo-saxons

d'affixe 1. Pour le prouver il suffit démontrer que les sommets sont les racines cinquième de l'unité : 1, z = , z2 , , ; solutions de l'équation z5 - 1 = 0. Le polynôme z5 – 1 se factorise sous la forme z5 – 1 = (z – 1)( z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique de la somme des 5 premiers termes d’une suite géométrique). La factorisation peut se poursuivre par z5 – 1 = (z – 1) (z2 – 2z + 1) (z2 – 2z + 1) avec par identification les réels  et  vérifiant  +  = et  = . Dans le triangle rectangle

réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Manipulation de quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.5. Développement et factorisation, identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6. Relation d’ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7. Symboles Σ et Π . . .

38 On note R[X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. n ∀ P ∈ E, on pose N1 (P ) = n ai X i avec n |ai | et N∞ (P ) = max |ai | où P = 0≤i≤n i=0 deg P . i=0 1. (a) Démontrer que N1 et N∞ sont des normes sur R[X]. (b) Démontrer que tout ouvert pour la norme N∞ est un ouvert pour la norme N1 . (c) Démontrer que les normes N1 et N∞ ne sont pas équivalentes. 2. On note Rk [X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué par les polynômes de degré inférieur ou égal à k. On note

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Algèbre 19 2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Vue d’écran Chapitre 3 ● Fonction carré. Problèmes du 2nd degré 33 b) Le rectangle AMPN a pour dimensions x et 4 – x. Ainsi f (x) = x(4 – x) = – x2 + 4x. Cette expression est du type ax2 + bx + c avec a = –1, b = 1 et c = 0 donc f est un polynôme du 2nd degré . c) Graphiquement, on conjecture que les solutions de l’équation f (x) = 0 sont x = 4 et x = 7. Vérifions par le calcul si ces valeurs conviennent : f (4) = 42 – 11 × 4 + 28 = 0 ; f (7) = 72 – 11 × 7 + 28 = 0. Les nombres 4 et

le prouver il suffit démontrer que les sommets sont les racines cinquième de l'unité : 1, z = [pic], z2 , [pic], [pic]; solutions de l'équation z5 - 1 = 0. Le polynôme z5 – 1 se factorise sous la forme z5 – 1 = (z – 1)( z4 + z3 + z2 + z + 1) (formule classique de la somme des 5 premiers termes d’une suite géométrique). La factorisation peut se poursuivre par z5 – 1 = (z – 1) (z2 – 2αz + 1) (z2 – 2βz + 1) avec par identification les réels α et β vérifiant α + β = [pic] et αβ = [pic]. Dans le triangle

L’objectif de ce cours est d’introduire les concepts de base en algèbre et en arithmétique élémentaire. Descriptif :  Polynôme et fractions rationnelles. - Généralités sur les polynômes d’une variable à coefficients réels ou complexes. - Racines d’un polynôme. Procédé d’écriture d’un polynôme selon les puissances de (x-a). - Division euclidienne dans R[X], C[X] ; factorisation. - Décomposition en éléments simples dans R(X), C(X).  Groupes, Anneaux et Corps - Introduction rapide à la notion de groupe