Factorisation des polynômes

réelles, 2a Démonstration. On écrit la factorisation az2 + bz + c = = = = c b2 + 2 a 4a 2 2 2 b b ∆ δ a z+ − 2 = a z+ − 2 2a 2a 4a 4a b δ b δ a z+ − z+ + 2a 2a 2a 2a −b + δ −b − δ a z− z− = a (z − z1 ) (z − z2 ) 2a 2a a z2 + b c z+ =a a a z+ b 2a − 2 Donc le binôme s’annule si et seulement si z = z1 ou z = z2 . 2.3 Théorème fondamental de l’algèbre Théorème 1 (d’Alembert–Gauss). Soit P(z) = a n z n + a n−1 z n−1 + · · · + a 1 z + a 0 un polynôme à coefficients complexes et de degré

Seconde, et on répond ainsi à quelques questions concernant la trajectoire de la fusée. Dans la partie C , on constate que la réponse à d’autres questions sur cette trajectoire passe par la résolution d’équations ou d’inéquations pour lesquelles une factorisation n’est pas immédiate. On introduit ainsi la question de la résolution de toutes les équations de degré 2. – 0,005x 2 + 4x = x(– 0,005x + 4) 2 2 – 0,005x + 4x = 0 ¤ x(– 0,005x + 4) = 0 ¤ x = 0 ou – 0,005x + 4 = 0 ¤ x = 0 ou x = 800. Les solutions

présence d’une forme indéterminée « ∞ −∞ » Il existe (au moins) deux manières de rédiger : 1ère manière : Puisque x →+∞ , on peut supposer 0x ≠ Alors 2 2 2 2 2 2 2 10 2 103 2 10 3 3xx x x x x x x x    − + = − + = − +        (factorisation par le terme de plus haut degré puis simplification). Puisque 2lim 0 x x→+∞ = et 2 10lim 0 x x→+∞ = , on a, par somme 2 2 10lim 3 3 x x x→+∞  − + =    , et puisque 2lim x x →+∞ = +∞ , on conclut, par produit, que 2 2 2 10lim 3 x x x x→+∞

d’un système de Cramer 68 69 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 73 3.1 Éléments propres 74 3.2 Polynôme caractéristique 79 3.3 Diagonalisabilité 86 3.4 Trigonalisation 98 3.5 Polynômes d'endomorphismes, polynômes de matrices carrées 106 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.4 106 109 116 118 CHAPITRE 3 3.6 CHAPITRE 4 4.1 4.2 IV 68 Généralités Polynômes annulateurs Théorème de Cayley et Hamilton Idéaux de K [X] (PSI Applications de la diagonalisation 119 3.6.1 3.6.2

est en présence d’une forme indéterminée « ∞−∞ » Il existe (au moins) deux manières de rédiger : 1ère manière : Puisque x→ �∞, on peut supposer 0x≠ Alors 2 2 2 2 2 2 2 10 2 10 3 2 10 3 3 x x x x x x x x x � � � �− � � − � � − �� � � � � � � � (factorisation par le terme de plus haut degré puis simplification). Puisque 2 lim 0 x x→�∞ � et 2 10 lim 0 x x→�∞ � , on a, par somme 2 2 10 lim 3 3 x x x→�∞ � �− � �� � � � , et puisque 2lim x x →�∞ � �∞, on conclut, par produit, que 2 2 2 10 lim 3 x

3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

représentation graphique de la fonction inverse ? 1. Définition de la fonction inverse On appelle fonction homographique toute fonction de la forme : .Avec c ≠ 0 et a, b et d des réels donnés.Si c = 0, on se retrouve dans le cas d’une fonction polynôme du 1er degré.Elle est définie si le dénominateur est non nul, soit : .D'où : . Exemple :La fonction  est définie si  soit .On en déduit . La  fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre

: – 1 < α : on fixe γ un réel tel que 1 < γ < α. La comparaison du comportement du logarithme et des polynômes en +∞ montre que : n→∞ lim nγ 1 nα (ln n)β = 0. Par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente. http://www.bibmath.net 4 Exercices - Séries numériques - étude pratique : corrigé – α < 1 : La comparaison du comportement du logarithme et des polynômes en +∞ montrer que : 1 lim n × α = +∞. n→∞ n (ln n)β Par comparaison à une série de Riemann, la série

Seconde, et on répond ainsi à quelques questions concernant la trajectoire de la fusée. Dans la partie C , on constate que la réponse à d’autres questions sur cette trajectoire passe par la résolution d’équations ou d’inéquations pour lesquelles une factorisation n’est pas immédiate. On introduit ainsi la question de la résolution de toutes les équations de degré 2. – 0,005x 2 + 4x = x(– 0,005x + 4) 2 2 – 0,005x + 4x = 0 ¤ x(– 0,005x + 4) = 0 ¤ x = 0 ou – 0,005x + 4 = 0 ¤ x = 0 ou x = 800. Les solutions

ces fameux trinômes ! 7 Ahh ! C’est de là que ça vient ! 11 √ √ −b − ∆ −b + ∆ avec z1 = et z1 = , réelles tous les deux. 2a 2a • Si ∆ = 0, la factorisation est terminée : az 2 + bz + c = a (z − z0 ) 2 b . z0 est appelée “racine double” de l’équation, en raison du carré qui la fait apparaître avec z0 = − + 2a deux fois dans la factorisation du trinôme. • Si ∆ < 0, on va cette fois utiliser notre nouvelle identité remarquable u2 + +v 2 = (u − iv) (u + iv) : √ √ √ 2 −∆ b −∆ −∆ b b + =a z+