Loi de probabilité

Soit une famille de 6 enfants. On considère que la probabilité de naissance d’un garçon = celle d’une fille = 0,5. 1. La probabilité qu’il y ait 6 filles vaut (0,5)6 2. La probabilité qu’il y ait 3 filles est plus grande que la probabilité qu’il y ait 2 filles 3. La probabilité qu’il y ait 1 garçon est plus grande que la probabilité qu’il y ait 5 filles 4. La probabilité qu’il y ait au moins une fille est plus grande que la probabilité qu’il y ait 1 seule fille. 5. L’événement le plus probable

´ LOIS DE PROBABILITE USUELLES Dans cette note est faite une liste des lois de probabilit´ usuelles sur Ê — voire Ên — ou e sur une de ses sous-parties ainsi que quelques unes de leurs propri´t´s (moyenne, variance, ee fonction caract´ristique). Qualifier ces lois de probabilit´ d’usuelles signifie qu’elles doivent e e ˆtre connues de tous et non qu’elles seraient les seules qu’on puisse rencontrer dans un e probl`me, un exercice et surtout dans une situation concr`te. De nombreuses propri´t´s sont

Probabilités Exercices 1 On lance deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L’un est blanc, l’autre est noir. On ajoute les deux chiffres obtenus et on note le résultat. 1. Modéliser l’ensemble des issues par un tableau à double entrée : 1. 2. 3. 4. Utiliser un tableau pour modéliser la situation. Quel est l’univers Ω de toutes les issues possibles ? Établir la loi de probabilité de l’expérience. Calculer la probabilité de l’évènement A : « Le résultat est

internet propose des jeux en ligne. Partie A : Pour un premier jeu : • si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est 2 égale à . 5 • si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est 4 égale à . 5 Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par G n l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note p n la probabilité de l’évènement G n . L’internaute gagne toujours la première partie et donc p 1 = 1. 1. Recopier et compléter

Chapitre 5 Probabilités et variables aléatoires sur un univers fini Exercice 0 : Questions de cours 1/ Formule des probabilités composées 2/ Formule de Bayes 3/ Formule des probabilités totales 4/ Formule de Bienaymé-Tchebychev 5/ Théorème de transfert 6/ Loi uniforme : formule, espérance, variance et écart-type 7/ Loi de Bernoulli : formule, espérance, variance et écart-type 8/ Loi binomiale : formule, espérance, variance et écart-type Exercice 1 On considère l’expérience aléatoire qui consiste

contraire. On note E l’événement « la personne interrogée est écologiste ». On note F l’événement « la personne interrogée est contre la construction et n’est pas écologiste ». 1) Déterminer les probabilités p(C), pC(E), p (E). (0,75 pt) On peut schématiser la situation par un arbre des probabilités : 0,7 E C 0,65 0,3

interprétation en termes de probabilité de l’occurrence d’un événement On suppose que E i = 0 pour tout i et on note : • Pi la probabilité de réalisation de l’événement {Yi = 1} • 1- Pi la probabilité de réalisation de l’événement {Yi = 0} conditionnellement à la connaissance de la valeur prise par Xi Pi = Prob{Yi = 1 | Xi} On sait par ailleurs que l’espérance conditionnelle de Yi liée par Xi est la somme des modalités possibles de Yi pondérées par leurs probabilités de réalisation : E( Yi | Xi

Chapitre 9 Chapitre 9. Lois à densité Activités et applications 2. Loi exponentielle Activité. Ajuster une courbe pour calculer des probabilités 1. Loi uniforme Activité. Une simulation 1. 1. La fréquence est 103 = 0,103. 1 000 Ύ2 000 3 000 f(x) dx. 2. y 2. Sur l’ordinateur. 3. Il faut entrer la formule, =NB.SI(A2:A1001;''<0,2'')–NB.SI(A2:A1001;''<0,1'') . 4. x X < 0,1 0,1 < X < 0,2 0,1 < X < 0,4 X > 0,6 10 % Intuition Fréquence trouvée 0,103 par la simulation 10 % 30 % 0 40 % y

7 9 1 Probabilités 1.1 Espace de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 L’espace des observables Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 La tribu A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 La mesure de probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variables aléatoires à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Densité de probabilité . . . .

prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note : M l’évènement : « l’animal est porteur de la maladie » ; T l’évènement : « le test est positif ». 1. Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 2. Un animal est choisi au hasard. a. Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? b. Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est