Loi de probabilité

Loi normale ou loi de Gauss Familles de loi de probabilité continues, définies sur l’ensemble des réels, complètement caractérisées par leur espérance et leur variance De distribution symétrique autour de leur espérance x ~ N (µ ,σ 2 ) f ( x) =  ( x − µ )2   exp −  2σ 2  2πσ   1 2 Exemples de lois normales Fonction de répartition Pas calculable analytiquement Calcul numérique La loi normale centrée réduite Loi normale d’espérance nulle et de variance 1 u ~ N (0,1) f (u )

2 ou 4, il reçoit 1 euro ; – sinon, il ne reçoit rien. À ce jeu, l’espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est : 1 0 −1 −2 12 Sujet 2 – Le sujet Pas à pas ➤ Mobiliser ses connaissances Thèmes du programme Fonctions ; probabilités. Fonction exponentielle : • La fonction exponentielle de base e est la réciproque de la fonction logarithme népérien. • La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R vérifiant les deux conditions suivantes : – pour tout réel x

Nom : IE8 – PROBABILITES Durée : 1h – Calculatrice autorisée Exercice 1 (3 points) Trois locataires laissent en sortant la clé de leur appartement au concierge. Celui-ci rend au hasard les clés aux trois personnes à leur retour. De combien de façons différentes le concierge peut-il rendre les clés aux locataires ? Justifier. Calculer la probabilité des événements suivants : E : « les trois locataires retrouvent leur clé » F : « un seul locataire retrouve sa clé » G : « Aucun locataire

vraie, cette statistique F obéit `a une loi de probabilité dite de Fisher-Snedecor. On dispose de tables statistiques et de logiciels pour calculer toute probabilité liée à cette loi. En particulier si l’on se fixe une petite probabilité (= 5%, 1%...), on peut lire dans ces tables un nombre critique Flu qui, si H0 était vraie, a peu de chance() d’être dépassé par F : Prob(FA > Flu) = (petite proba) et Prob(FA 6 Flu) = 1 − (grande proba) La (petite) probabilité (= 5%, 1%...), est le risque maximal,

II/ Lois de probabilités: a) Loi de Bernouilli: Soit X une variable aléatoire discrète. On fait une expérience 1 fois et on considère X le nombre de succès obtenus. X prend les valeurs 0 ou 1 Soit p = P(x=1) --> c’est la probabilité de succès 1.p = P(X=0) --> c’est la probabilité de l’échec Ainsi on dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre P et on note x ~> B(p) (~> = suit) Exemple: On lance une fois un dé et on s'intéresse a l’obtention du chiffre “3” x:nombre

DCG UE11 Fiche 1 en Probabilités La loi Binomiale I) Contexte d’application : Soit une épreuve E de Bernoulli, c’est à dire une épreuve à deux issues possibles : S = Succès On répète n p = P (S ) E = Echec Epreuve de Bernoulli : de Probabilité de Probabilité q = P (E ) = 1 − p fois cette même épreuve et ceci de manière indépendante. On s'intéresse alors à la variable aléatoire X représentant le nombre de réalisations de l’événement S (succès) au cours de ces

La loi normale PRÉPARÉ PAR:  AIT ALI SARA  AIT BRIK REDOUANE  AIT OUMGHAR OUSSAMA  AIT TAHAR RACHID  OMAR AJDIR  AJERROUD SOUKAINA Généralités et définition On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si sa fonction de densité est: Représentation graphique Caractéristiques et propriétés:  Notation N(μ;σ²)  Courbe symétrique autour de μ et a 2 points D’inflexion aux abscisses μ-σ et μ+σ  E(X) = μ  V(X) = σ² La loi normale centrée réduite

d'être familiarisé avec les notions élémentaires d'algèbre linéaire, de probabilité et de statistiques. En algèbre linéaire, doivent être connus les applications linéaires, les opérations matricielles ainsi que les formes quadratiques positives et les résultats de diagonalisation des matrices symétriques. En probabilité, il est nécessaire de connaître les notions d'espace probabilisé, de variable aléatoire, de loi de probabilité discrète et continue d'une variable et d'un couple de variables, de calculs

en assurance auto A Hong Kong, il existe 6 classes de tarification, de 1 (fort bonus) à 6 fort malus • si un assuré n’a pas eu de sinistre, il passe de i à max{1, i − 1}, • si l’assuré a eu au moins un sinistre, il passe de i à 6. Si p est la probabilité de ne pas avoir  p 0  p 0   0 p P =  0 0   0 0 0 0 Proportion par classe en fonction de n, p=90% 1.0 1.0 de sinistre, 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p 0 0 0 0 0 0 p 1−p 1−p 1−p 1−p 1−p 1−p         Proportion par classe en fonction

l'une appelée « succès », notée S, dont la probabilité d'apparition est p • l'autre appelée « échec », notée E ou ̄ S , dont la probabilité est 1 – p . Exemple : On lance un dé cubique équilibré et on s'intéresse à l'apparition de S : « obtenir un 6 ». 1 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p= . 6 Propriété 1 : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant la valeur 1 si S se produit et 0 sinon, a la loi de probabilité ci-contre. Alors : • E[X] = p k p (X = k)