Suite de Cauchy

Les suites num´riques e Suites de Cauchy ; Applications Jean-Luc EVENO 3 septembre 2005 Le crit`re de Cauchy a une tr`s grande importance en analyse, mais essentiellement dans les questions e e th´oriques. Comme nous en aurons besoin dans quelques d´monstrations, nous vous le pr´sentons donc. e e e 1 1.1 Premi`res d´finitions, premi`res propri´t´s e e e e e D´finition e Nε et si p Nε , Une suite (un )n∈N est dite de cauchy, si Pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre Nε ∈ N tel que

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

1 Le corps R des nombres réels 1.1 Construction de R à l’aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres

Montrer que y est une fonction impaire. c) Etudier la monotonie et la concavité de y. d) Montrer que y est définie sur un intervalle borné de R. e) Dresser le tableau de variation de y. Exercice 2 [ 00431 ] [correction] a) Montrer que le problème de Cauchy  1 y = 1 + xy  y(0) = 0 y = x + y2 E : y = x + y2 a) Quel est le lieu des points où les solutions de (E) présentent une tangente horizontale ? b) Décrire le lieu des points d’inflexion ? Exercice 6 X MP [ 02979 ] [correction]

), alors (E) est un système diérentiel du premier ordre à m fonctions inconnues y1 , . . . , ym :   y1 (t) = f1 (t, y1 (t), . . . ym (t))  . . (E) .   y (t) = f (t, y (t), . . . y (t)) m 1 m m 4 Problème de Cauchy : étant donné un point (t0 , y0 ) ∈ U , le problème de Cauchy consiste à trouver une solution y : I → Rm de (E) sur un intervalle I contenant t0 dans son intérieur, telle que y(t0 ) = y0 . Souvent, concrètement, la variable t représente le temps, et y = (y1 , . . . , ym ) est

programme d’analyse, ce qui reflète l’importance de la notion, tant du point de vue théorique que pratique. L’idée de suite est présente très tôt dans l’histoire des mathématiques, dès l’Antiquité. Mais il faut attendre la fin du xixe siècle pour voir émerger la définition actuelle, proposée par G. Peano, d’une suite comme fonction définie sur l’ensemble N des entiers naturels. La notion de suite ne peut être dissociée de celles de mouvement, de quantité en devenir, de dynamique, d’objet concret évoluant vers

VarÔX Õ npÔ1 ¡ pÕ, ϕX Ôθ Õ eiθX   1 ¡ p   p eiθ ¨n . On pourrait aussi obtenir ces formules en se servant directement de l’expression de la loi binomiale BÔn, pÕ. Le contexte usuel d’apparition de cette loi est le suivant : consid´rons une suite de n e ´preuves ind´pendantes (de n variables al´atoires X1 , . . . , Xn chacune ayant 2 issues (valeurs) e e e e e e possibles Ø0, 1Ù (ou Ø´chec, succ`sÙ) de probabilit´s respectives 1 ¡ p et p. Soit X la variable al´atoire comptant le nombre total

en a/(t − 1), b/(t − 1)2   £   £ (c.t + d)/(1 + t2 )).¢ 4 pt. ¡La solution trouvée admet elle une limite nie en 1 ? ¢ 2 pt. ¡ Soit [♠(2)] u une suite réelle. On suppose qu'elle vérie : p K ∀ ε ∈ R+∗ , ∃ K ∈ N, ∀ (p, q) ∈ N2 , ⇒ |up − uq | ε. q K £   Montrez que cette suite est bornée. 2 pt. ¢ ¡ Justiez : il existe au moins une suite strictement croissance ϕ de N dans N telle que £   (uϕ(n) )n converge.¢ 1 pt. ¡ On note λ sa limite. Montrez que (un ) converge aussi vers λ   £   £ (en

positifs Dans le cas où la suite (un )n∈N et à valeurs positives, la suite (Sn )n∈N des sommes partielles associées est croissante et deux cas de figure peuvent se produire : – soit la suite (Sn )n∈N est majorée et en conséquence elle converge ; – soit cette suite n’est pas majorée et lim Sn = +∞, ce qui peut se noter n→+∞ +∞ un = +∞. n=0 On a donc le résultat suivant. Théorème 26.1 Une série à termes positifs un est convergente si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles

VarÔX Õ npÔ1 ¡ pÕ, ϕX Ôθ Õ eiθX   1 ¡ p   p eiθ ¨n . On pourrait aussi obtenir ces formules en se servant directement de l’expression de la loi binomiale BÔn, pÕ. Le contexte usuel d’apparition de cette loi est le suivant : consid´erons une suite de n ´epreuves ind´ependantes (de n variables al´eatoires X1 , . . . , Xn chacune ayant 2 issues (valeurs) possibles Ø0, 1Ù (ou Ø´echec, succ`esÙ) de probabilit´es respectives 1 ¡ p et p. Soit X la variable al´eatoire comptant le nombre total de succ`es