Suite de Cauchy

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 45 49 50 52 53 53 CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2. Résolution C ∞ des équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3. Le Théorème de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.1

colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il existe α et β non simultanément nuls tels que α|f|p = β|g|q p.p. [afficher] Deux démonstrations Exemples[modifier | modifier le code] Inégalité de Cauchy-Schwarz Le cas p = q = 2 de l'inégalité de Hölder est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les espaces de Hilbert. Dimension finie Lorsqu'on applique l'inégalité de Hölder à l’ensemble S = {1, …, n} muni de la mesure de dénombrement, on obtient, pour 1 ≤ p, q ≤ +∞ avec

qui l’est lui même plus que le jaune et ainsi de suite. La lumière entrante est réfléchie vers l’arrière sous un angle d’environ 40° _ 42° , tout dépend de la la longueur d’onde ( de la couleur)La lumière bleu est déviée selon un angle de 40,6° contre 42,0° pour la lumière rouge.lois fondamentales de l’optique :L’arc-en-ciel est en fait la conséquence de deux phénomènes principaux qui ont été mis en équation par Descartes pour l’un, et par Cauchy pour l’autre. Deuxième loi de Snell-Descartes → La

Henrik, d’autant plus que la guerre et le blocus des anglais ont considérablement appauvri le pays. Le Pasteur Abel n’est pas réélu député au Storting en 1816, mais il l’est en 1818 où ses adversaires politiques jettent le discrédit sur lui, à la suite de ses maladresses. Sa santé se dégrade et il s’adonne de plus en plus à la boisson. Au début de l’année 1820, il tombe gravement malade et meurt peu de temps après, à l’âge de quarante-huit ans. Mathias, le frère aîné montrant de plus en plus de signes

différentes approches, auxquelles corres- pondent différentes démonstrations, sujet principal de cet article. MOTS-CLÉS : blibli 1. INTRODUCTION Le Théorème de d’Alembert-Gauss ou Théorème Fondamental de l’Algèbre (que l’on abrégera en TFA dans la suite), affirme que dans C[z], tout polynôme non constant admet au moins une racine dans C. Il suffit de parcourir divers traités1 sur les fonctions holomorphes pour constater que l’analyse complexe fournit différentes manières d’établir ce théorème

espace topologique, ∈ X et (xn )n∈N une suite d’´l´ments de X . e ee On dit que la suite (xn )n∈N converge vers si pour tout voisinage V de il existe N ∈ N tel que xn ∈ V pour tout n ≥ N . Exercice : Dans le cas d’un espace topologique s´par´, montrer l’unicit´ de la limite d’une e e e suite. Que dire pour un espace topologique non s´par´ ? e e Proposition 1. Soit F un ferm´ de (X, O) et (xn )n∈N une suite convergente de points de F. e Alors la limite de cette suite est encore dans F. On dit que F est

en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque suite (xn )n∈N de points appartenant à Dom(f ) qui converge vers c nous avons lim f (xn ) = f (c) n→+∞ 4 FONCTIONS CONTINUES ET LIMITES DE FONCTIONS Preuve. Supposons d’abord que la fonction f est continue en c, c’est à dire que la propriété (1) tient. Supposons que xn ∈ Dom(f ) avec (xn )n∈N → c. Soit ε > 0 donné et choisissons δ tel que la propriété (1) ait lieu. Puisque la suite (xn )n≥0 converge vers c, soit N ∈ N tel que |xn − c|

1+u0 2 > u0 . 1+unp 2 ii. (0 .25pt) De même, lim un = 1, pour ε = > 0, ∃np+1 > np ; unp+1 ≥ 1 − ε = > unp . iii. (0 .5pt) Soient p ∈ N, par construction on a uψ(p) < uψ(p+1) , d’où uψ(p) est strictement croissante. uψ(p) est une sous suite de (un ), en effet ∀p ∈ N, ψ (p) = np < np+1 = ψ (p + 1) Donc ψ : N → N est strictement croissante.Ainsi lim uψ(p) = lim un = 1. n→+∞ n→+∞ 3. (1pt : chaque ⇒ vaut 0 .5pt)Il suffit de remarquer que t → f est uniformément continue sur [a, b[ ⇔ b−a

et seulement si, ∀x ∈ F, x S et ∀c < S, ∃x ∈ F, c < x. – Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. – Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. – Le principe de descente infinie de Fermat : il n’existe pas de suite de N strictement décroissante. – L’axiome d’Archimède : ∀a, b ∈ N∗ , ∃n ∈ N∗ , na > b. Savoir-faire – Identifier la méthode de raisonnement la plus appropriée à utiliser (syllogisme, double implication, contraposée, absurde, récurrence – faible, forte

sont-elles finies ? ∑ ∑( ) ∑ ∑ ( ) ∑ ( )( ) Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6. Existence et calcul de : ∑ ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7. Soit ( ) une suite de réels positifs et Montrer que les séries et sont de même nature. 2 Allez à : Correction exercice 7 Exercice 8. Déterminer en fonction du paramètre la nature de la série de terme général ( ) Allez à : Correction exercice